2023—2024学年高三质量检测（一）数学参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CADDACBB二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ABACACDACD三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。5413．3√514．16015．16．[ , 2]533四、解答题本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1）设该等差数列{푎푛}的公差为푑，等比数列{푏푛}的公比为푞，푎1+푑=푎1푞由已知得{2，...............................................................................................................2分푎1+3푑=푎1푞因为数列{푎푛}为正项数列，{푏푛}为正项递增数列，所以푞=2，푑=1，...........................................................................................................................4分푛−1푛−1所以푎푛=1+(푛−1)×1=푛，푏푛=1×2=2．..............................................................6分푛 , 푛为奇数（2）由已知得푐푛={，............................................................................................7分2푛−1 , 푛为偶数所以数列{푐푛}的前2푛项和为푇2푛=(푎1+푎3+⋯+푎2푛−1)+(푏2+푏4+⋯+푏2푛)=(1+3+⋯+2푛−1)+(21+23+⋯+22푛−1)...........................................................................8分(1+2푛−1)푛21×(1−4푛)=+21−43푛2+22푛+1−2=．..................................................................................................................................10分318．（12分）证：（1）∵底面퐴퐵퐶퐷为正方形，∴퐴퐵⊥퐴퐷，.......................................................................................................................................1分又∵퐴퐵⊥푃퐷，퐴퐷∩푃퐷=퐷,퐴퐷 , 푃퐷⊂平面푃퐴퐷，...................................................................3分∴퐴퐵⊥平面푃퐴퐷，..............................................................................................................................4分第1页共5页{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}∵퐴퐵⊂平面퐴퐵퐶퐷，...........................................................................................................................5分∴平面푃퐴퐷⊥平面퐴퐵퐶퐷．.................................................................................................................6分解：（法一）（2）取퐴퐷中点为푂，连结푃푂，∵在△푃퐴퐷中，푃퐴=푃퐷，∠푃퐷퐴=60°，∴푃푂⊥퐴퐷,△푃퐴퐷为等边三角形．∵平面푃퐴퐷⊥平面퐴퐵퐶퐷，平面푃퐴퐷∩平面퐴퐵퐶퐷=퐴퐷，푃푂⊂平面푃퐴퐷，∴푃푂⊥平面퐴퐵퐶퐷，...........................................................................................................................7分以푂为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形퐴퐵퐶퐷的边长为2，∴푃(0,0,√3)，퐴(1,0,0)，퐵(1 , 2 , 0)，퐶(−1 , 2 , 0)，퐷(−1 , 0 , 0)，∴푃퐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1 , 2 , −√3)，푃퐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1 , 2 , −√3)，............................................................................9分设平面푃퐵퐶的一个法向量풎=(푥 , 푦 , 푧)，⃗⃗⃗⃗⃗푥+2푦−√3푧=0则{푃퐵⋅풎=0，即{，푃퐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅풎=0−푥+2푦−√3푧=0令푦=3，则푥=0，푧=2√3，∴풎=(0 , 3 , 2√3)，.....................................................................................................................10分由（1）可知平面푃퐴퐷的一个法向量풏=(0 , 1 , 0)，..................................................................11分设平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的夹角为휃，|풎⋅풏|321则푐표푠휃===√，|풎||풏|√21×17∴平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶夹角的余弦值为√21．................................................................................12分7zPDCOy（法二）（2）设平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的交线为푙，AB∵퐵퐶//퐴퐷，퐴퐷⊂平面푃퐴퐷，퐵퐶⊄平面푃퐴퐷，x(第18题图1)∴퐵퐶//平面푃퐴퐷，又∵퐵퐶⊂平面푃퐵퐶，∴퐵퐶//푙，퐴퐷//푙，∵平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶有一个交点푃，∴푙为过点푃且与퐵퐶平行的一条直线，如下图，..............................................................................7分取퐴퐷中点为푂，取퐵퐶中点为푀，连结푃푂，푃푀，푂푀，∵底面四边形퐴퐵퐶퐷为正方形，푂 , 푀分别为퐴퐷 , 퐵퐶的中点，∴푂푀//퐴퐵，又∵퐴퐵⊥平面푃퐴퐷，∴푂푀⊥平面푃퐴퐷，.............................................................................................................................8分∵푙⊂平面푃퐴퐷，第2页共5页{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}∴푂푀⊥푙，∵在△푃퐴퐷中，푃퐴=푃퐷，푂为퐴퐷的中点，∴푃푂⊥퐴퐷，푃푂⊥푙，又푃푂∩푂푀=푂，푃푂 , 푂푀⊂平面푃퐴퐷，∴푙⊥平面푃푂푀，∴푙⊥푃푀，又∵∠푂푃푀为锐角，∴∠푂푃푀为平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶的夹角，.....................................................................................10分设底面正方形퐴퐵퐶퐷的边长为2，푃푂√3√21在△푃푂푀中，푃푀=√푃푂2+푂푀2=√7，푐표푠∠푃푂푀===，푃푀√77∴平面푃퐴퐷与平面푃퐵퐶夹角的余弦值为√21．................................................................................12分7lPDCOMAB(第18题图2)19．（12分）解：（1）由正弦定理得푠푖푛퐶푐표푠퐵+3푠푖푛퐵푐표푠퐶=푠푖푛퐴−푠푖푛퐵，.........................................2分因为푠푖푛퐴=푠푖푛[휋−(퐵+퐶)]=푠푖푛(퐵+퐶)，所以푠푖푛퐶푐표푠퐵+3푠푖푛퐵푐표푠퐶=푠푖푛(퐵+퐶)−푠푖푛퐵，................................................................3分即푠푖푛퐶푐표푠퐵+3푠푖푛퐵푐표푠퐶=푠푖푛퐵푐표푠퐶+푐표푠퐵푠푖푛퐶−푠푖푛퐵，2푠푖푛퐵푐표푠퐶=−푠푖푛퐵，而푠푖푛퐵≠0，1所以푐표푠퐶=−，...............................................................................................................................5分2又因为퐶∈(0 , 휋)，所以퐶=2π．........................................................................................................................................6分313（2）因为푐표푠퐵=，퐵∈(0 , 휋)，1433所以푠푖푛퐵=√1−푐표푠2퐵=√，......................................................................................................7分142휋2휋53푠푖푛퐴=푠푖푛(퐵+퐶)=푠푖푛퐵푐표푠+푐표푠퐵푠푖푛=√，..............................................................8分33145푏푐푎푏푐==由正弦定理==，得5√33√3√3，푠푖푛퐴푠푖푛퐵푠푖푛퐶14142第3页共5页{#{QQABAQgAoggIQBAAABhCQQ1yCgGQkBACCAgOwBAEoAAACQFABAA=}#}解得푏=3，푐=7，..........................................................................................................................10分则퐴퐷=푐−퐵퐷=2，1153153所以푆=×퐴퐷×푏×푠푖푛퐴=×2×3×√=√．.......................................................12分△퐴퐶퐷22141420．（12分）解：（1）记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件퐴，“该箱产品不含次品”为事件퐵，33퐶9퐶811则푃(퐴)=0.8×1