棠湖中学高2021级高三10月考试数学（理工类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则A. B. C. D.2.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.3.已知，条件，条件，则是的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（）A.半圆柱和四棱台 B.球的和四棱台C.半圆柱和四棱柱 D.球和四棱柱5.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.6.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化曲线是一个三角函数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（）A.B.CD.7.方程的两根为，，且，则A. B. C. D.或8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的()倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.函数，则（）A.0 B. C.4 D.110.设，，，则（）A. B. C. D.11.在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若，且，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.定义在上的奇函数，满足，当时，，，则函数在的零点个数为（）A.7 B.6 C.5 D.4第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知是虚数单位，则复数的实部为______.14.若，满足，则的最小值是________．15.已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是___________.16.关于函数有如下四个结论：①对任意，都有极值；②曲线的切线斜率不可能小于；③对任意，曲线都有两条切线与直线平行；④存在，使得曲线只有一条切线与直线平行．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在△ABC中，∠ACB＝，BC＝2，P是△ABC内的一点，△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△APC的面积为．（1）求PA长；（2）求cos∠APB的值．18.已知函数，且．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数单调区间；（3）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）19.如图，，，平面，，，．（1）证明：；（2）求二面角正弦值．20.已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的单调递增区间以及图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角，，使，同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）若，，求的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，点的坐标为，证明：直线关于轴对称．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.