2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．2．若复数满足，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．63．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（    ）A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和84．下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的函数有（    ）A． B．C． D．5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则68.27%，95.45%）A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%6．已知圆与圆只有一个公共点，则（   ）A．1 B．4 C．9 D．1或97．的图象大致是（    ）A．B．C． D．8．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ）A．75 B．74 C．73 D．729．已知点为坐标原点，直线与抛物线：相交于A，两点，的中点为，若到的准线的距离等于，则（    ）A． B． C． D．10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，现将沿AE向上翻折，使点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（    ）  A．存在点P，使得B．存在点P，使得C．三棱锥的体积最大值为D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为4π11．函数在内的值域为,则的取值范围为A． B． C． D．12．设，，，则（    ）A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）14．已知数列满足，，若，，则的值为______.15．已知是双曲线的左焦点，是的右顶点，过点作轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点，连接交另一条渐近线于点.若，则双曲线的离心率为__________.16．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知数列满足，（）.记(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.18．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：日均收看世界杯时间（时）频率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．  (1)证明：平面．(2)求二面角的余弦值．20．已知动圆经过点，并且与圆相切．(1)求点的轨迹的方程；(2)动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．21．已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点，且，证明：.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．(1)写出C的普通方程；(2)写出直线l的直角坐标方程并判断l与C有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．23．[不等式选讲]已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求a的取值范围.公众号：高中试卷君