2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）01数学·答案及评分标准123456789101112BCCACCADADBCDACDBD13．-200 14．815．2 16．417．【答案】【详解】=.（10分）18．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C；（2）法一：将用的三角函数表示出来，结合求周长范围；法二：首先得到，再用表示周长，利用函数的单调性求范围.【详解】（1），（法一），，，∴，则，又为锐角三角形，故.（法二）则，，∴，且为锐角三角形，故.（6分）（2），，由于为锐角三角形，则，且，解得，（法一）周长，而，即，∴，故的周长l的取值范围为．（法二）由上，由余弦定理得，周长，记，则在单调递增，∴的周长l的取值范围为．（12分）19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，先根据是等腰直角三角形证出中线，再结合证出，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面平面；（2）依题意可得，则，再根据计算可得.（3）过分别作于，于，再连接，根据三垂线定理证明为二面角的平面角，最后分别在、、中计算出、和，最后求出所求二面角的余弦值．【详解】（1）连接，，是的中点，，又底面，底面，，，平面，平面，而平面，平面平面.（5分）（2）因为是的中点，是的直径，所以，所以，所以.（7分）（3）在平面中，过作于，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，，在平面中，过作于，连接，，平面，所以平面，又平面，从而．故为二面角的平面角，在中，，在中，，在中，，在中，，所以，故二面角的余弦值为.（12分）  20．【答案】(1)(2)①证明见解析；②最大值为，．【分析】（1）根据双曲线与椭圆的离心率，结合椭圆的定义求解即可；（2）①设，BA的方程为，再联立椭圆的方程，利用韦达定理表达化简即可；②同①，根据弦长公式结合点到线的距离公式，代入韦达定理化简可得的表达式，结合的范围求解面积范围即可.（1）由椭圆的定义知，双曲线的离心率为，故椭圆的离心率，故，，，故椭圆的方程为．（3分）（2）①证明：设，则．设直线BA的方程为，联立方程化简得，，∴，，∴；②当直线AB的斜率不存在时，可知，，，故，当直线AB的斜率存在时，由①知，，，，，点C到直线AB的距离，故.故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为．（12分）21．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数为奇函数得到，故，求出，分与两种情况，结合单调性，列出不等式，求出的取值范围；（2）根据，，求出或，分两种情况，利用导函数得到单调性和极值情况，得到时的值域.【详解】（1）是定义域为的奇函数，∴，即，故，，且..当时，，此时在上单调递减，在上只有1个零点，不合题意.当时，令，解得，令，解得或，在，上单调递减，在上单调递增.在上有3个零点，且，由函数为奇函数，故只需，即，.实数的取值范围是.（6分）（2），由已知可得，且，解得或，当，时，，.令，即，解得，易知是的极小值点，与题意不符；当，时，，.令，即，解得，易知是的极大值点，符合题意，故，.，在上单调递增，在上单调递减.又，，.在上的值域为.（12分）22．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数研究的单调性求最值；（2）令，问题化为恒成立，利用导数研究单调性，讨论参数a及定义域判断符号，即可求范围.【详解】（1）由题意，，令，则，当时，当时．所以．（5分）（2）由，所以，记，即恒成立，且，当时，当，令，则，所以在单调递增，且，，（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），故存在唯一，使得，当时，递减，所以，此时，不合题意．当时，（ⅰ）若，由上知，则递增，（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），所以恒成立，即成立，符合题意．（ⅱ），若，则单调递增，，，所以存在唯一使，当时，递减，当时，递增，又，，故存在唯一，使，故时，递增，时，递减，又，，所以时，则递增，故，即恒成立．综上，.（12分）【点睛】关键点点睛：第二问，注意构造中间函数研究单调性并确定零点，进而判断的符号求参数范围.公众号：高中试卷君