高2024届期中考试数学试卷总分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。1.已知集合，则（    ）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（    ）A.3 B.1 C. D.3.已知，则（    ）A. B. C. D.4.已知等比数列的首项，前项和为，且成等差数列，则（    ）A. B.C. D.5.已知四棱锥的底面是正方形，平面，若，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）A. B. C. D.6.某款对战游戏，总有一定比例的玩家作弊该游戏每10个人组成一组对局，若一组对局中有作弊玩家，则认为这组对局不公平.现有50名玩家，其中有2名玩家为作弊玩家，一次性将50名玩家平均分为5组，则5组对局中，恰有一组对局为不公平对局的概率为（   ）A. B. C. D.7.设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（    ）A. B. C. D.8.已知，则（    ）A. B.C. D.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。9.设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）A. B.C.若，则的最大值为2 D.若复数，则10.在中，下列说法正确的有（    ）A.若，则B.若为锐角三角形，则C.若，则一定是等腰三角形D.若为钝角三角形，且，，，则的面积为11.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（    ）  A.B.与平面所成角为C.异面直线与所成角的余弦值为D.平面与平面夹角的余弦值为12.已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，分别为，且，则下列说法正确的有（ ）A. B.C. D.的取值范围为三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13.已知（为锐角），则.14.已知公差不为零的等差数列的前项和为，则15.在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为.16.已知对任意，都有，则实数的取值范围是.四、解答题：共70分。17.（10分）已知集合，不等式的解集为.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.18.（12分）设数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项利.19.（12分）已知函数（，，）的图象相邻两条对称轴间的距离为.函数的最大值为2，且______.请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①为奇函数；②当时；③是函数的一条对称轴.并解答下列问题：(1)求函数的解析式；(2)在中，、，分别是角，，的对边，若，，的面积，求的值.20.（12分）如图，，为圆柱的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是，的中点，面.  (1)证明：平面ABC；(2)若，求平面与平面BDC的夹角余弦值.21.（12分）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.参考数据（）5215177137142781.33.6  (1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）附：回归方程中，，(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；方案3：不采取防虫害措施.22.（12分）已知函数.(1)当时，比较与的大小；(2)若函数，且，证明：.高2024届期中考试数学试卷参考答案单选：1—4：ADAB 5—8：BCCB多选：9.ACD 10.AB 11.ACD 12.BD详解：1.由得，，所以，2.设，依题意，，，所以，解得，则.3.由，得，即，所以.4.设等比数列的公比为，由于成等差数列，所以，由于，所以，所以，所以，，所以.5.四棱锥的底面是正方形，平面，则此四棱锥可补形成长方体，如图，  显然直线是平面与平面的交线，由平面，得，因此是平面与平面所成二面角的平面角，在中，，则，，所以平面与平面夹角的余弦值为.6.所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了同一组对局，记该事件为事件，则.7.设点，则，令，，可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值，若直线与函数的图象相切，设切点的横坐标为，因为，可得，解得：，则切点为，且切点在上，故，点到直线的距离为，所以，又因为有解，则，此时点P在上，也在直线在点P处的垂线即直线上，其中直线在点P处的垂线的斜率为，所以直线在点P处的垂线方程为：即点坐标满足，解得，即.8.令，设且，则，令，则，所以单调递增，则，故单调递增，所以，故在上恒成立，则，即，由三角函数线，时有，则，即.综上，.9.对于A，设()，则，所以，而，所以成立，故A正确；对于B，设()，当均不为时，为虚数，而为实数，所以不成立，故B错误；对于C，，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的几何意义为复数对应的点与两点间的距离，所以，如图可知，当点P为时，最大，取最大值，最大值为2，故C正确；  对于D，设()，（），由，则，则；；所以，故D正确.10.对于A：因为，所以，所以，A正确；对于B：因为是锐角三角形，所以，即，因为且，在区间单调递增，所以，B正确；对于C：，即，即，所以，而A,B为三角形内角，所以或者，所以是等腰三角形或者直角三角形，C错误；对于D：易求出，而，所以，化简可得，解得或者，当时此时是最大角且，所以满足钝角三角形，此时，当时此时为最大角且，所以满足钝角三角形，此时，所以D错误，11.设，对于A选项，，由余弦定理可得，所以，，所以，，因为底面，平面，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，A对；对于B选项，因为底面，所以，与平面所成的角为，且，又因为为锐角，故，即与平面所成角为，B错；对于C选项，因为四边形为平行四边形，则，且，所以，异面直线与所成角为或其补角，因为底面，平面，则，所以，，则，故异面直线与所成角的余弦值为，C对；对于D选项，因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，则，设平面的法向量为，，，则，取，可得，所以，，所以，平面与平面夹角的余弦值为，D对.12.作出在上的图象，如图所示：对于A，因为，又因为方程有四个互不相等的实数根，所以，故A错误；对于B，由题意可得，，且有，，所以，故，当，即时，等号成立，故B正确；对于C，由题意可得，由A可知，所以，故C错误；对于D，由题意可知与关于直线对称，且，，所以，故.因为，所以.又因为，所以，在上单调递减，故,所以，，所以.因为，，所以，在单调递增，所以，故，所以的取值范围为，故D正确.13. 14.7 15. 16.13.因为为锐角，，所以为第二象限角，又，所以.14.若公差为且，则，由.15.由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率；一次投球中，三人投篮均命中的概率.所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率.16.根据题意可知，，由，可得恒成立，令，则，现证明恒成立，设，，当时，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，函数取得极小值即最小值，，所以，即恒成立，，，当且仅当（该方程显然有解）时取等号，所以，即.所以实数的取值范围是.17.（1）当时，；或，解得，故，故；（2）由得，当时，；当时，，故，解得，即实数的取值范围为或.18.（1）因为，所以不为常数，由，得，即，解得或（舍去），当时，，当时，，所以，.（2）当时，，当时，，①则，②①-②：.所以，所以.经检验，当时，满足上式，所以.19.（1）由题意得，∴最小正周期，则，∴.若选①，为奇函数，则，∴，即∵，即，∴即，∴.若选②，当时，∴即，∵，∴，∴.若选③，是函数的一条对称轴，∴即∵，∴，∴.（2）∵，∴,即，∵即，∴，即，又∵，的面积，∴得，在中，由余弦定理得：，解得.20.（1）证明：如图所示，取中点F，连接DF，EF，因为D，E，F分别为，，的中点，所以，，又因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面DEF，所以平面.  （2）解：如图所示，连接，因为分别为的中点，所以，且，又因为D为的中点，所以，且，所以，且，即四边形AOED为平行四边形，即，因为面，所以面.又因为面，所以，可得，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，可得，，，，，则，，，,设平面的法向量为，则，取，可得，所以.设平面的法向量为，则，取，可得，所以，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.  21.（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.（2）将两边同时取自然对数，可得，由题中的数据可得，，，所以，则，所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为；（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，如果发生，则收益为万，即，同样，采用第3种方案，有所以，，，.显然，最大，所以选择方案1最佳.22.（1）设函数，则，当时，，则在上单调递增，所以，从而，即；（2）设函数，当时，，，则恒成立，则由，得，又，所以,因为，所以，令，则恒成立，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，又，，所以,要证，只需证，即证.因为，所以.设函数，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以，所以，从而得证.