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重庆市实验中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题
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高2024届期中考试数学试卷总分:150分 考试时间:120分钟一、单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分。1.已知集合,则(    )A. B. C. D.2.已知复数z满足,则(    )A.3 B.1 C. D.3.已知,则(    )A. B. C. D.4.已知等比数列的首项,前项和为,且成等差数列,则(    )A. B.C. D.5.已知四棱锥的底面是正方形,平面,若,则平面与平面夹角的余弦值为(    )A. B. C. D.6.某款对战游戏,总有一定比例的玩家作弊该游戏每10个人组成一组对局,若一组对局中有作弊玩家,则认为这组对局不公平.现有50名玩家,其中有2名玩家为作弊玩家,一次性将50名玩家平均分为5组,则5组对局中,恰有一组对局为不公平对局的概率为(   )A. B. C. D.7.设函数,若关于的不等式有解,则实数的值为(    )A. B. C. D.8.已知,则(    )A. B.C. D.二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分。9.设z为复数,则下列命题中正确的是( )A. B.C.若,则的最大值为2 D.若复数,则10.在中,下列说法正确的有(    )A.若,则B.若为锐角三角形,则C.若,则一定是等腰三角形D.若为钝角三角形,且,,,则的面积为11.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,底面,则(    )  A.B.与平面所成角为C.异面直线与所成角的余弦值为D.平面与平面夹角的余弦值为12.已知函数,若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根,分别为,且,则下列说法正确的有( )A. B.C. D.的取值范围为三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分。13.已知(为锐角),则.14.已知公差不为零的等差数列的前项和为,则15.在一次投篮比赛中,甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为,,,若每次投球三人互不影响,则在一次投球中,三人中至少有两人投篮命中的概率为.16.已知对任意,都有,则实数的取值范围是.四、解答题:共70分。17.(10分)已知集合,不等式的解集为.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.18.(12分)设数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)设数列满足,求数列的前项利.19.(12分)已知函数(,,)的图象相邻两条对称轴间的距离为.函数的最大值为2,且______.请从以下3个条件中任选一个,补充在上面横线上,①为奇函数;②当时;③是函数的一条对称轴.并解答下列问题:(1)求函数的解析式;(2)在中,、,分别是角,,的对边,若,,的面积,求的值.20.(12分)如图,,为圆柱的母线,BC是底面圆O的直径,D,E分别是,的中点,面.  (1)证明:平面ABC;(2)若,求平面与平面BDC的夹角余弦值.21.(12分)红蜘蛛是柚子的主要害虫之一,能对柚子树造成严重伤害,每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(℃)有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.参考数据()5215177137142781.33.6  (1)根据散点图判断,与(其中…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(个)关于平均温度x(℃)的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)由(1)的判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到0.1)附:回归方程中,,(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计,得到以下数据:平均气温在22℃以下的年数占60%,对柚子产量影响不大,不需要采取防虫措施;平均气温在22℃至28℃的年数占30%,柚子产量会下降20%;平均气温在28℃以上的年数占10%,柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害,农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变,无虫害的情况下,某果园年产值为200万元,根据以上数据,以得到最高收益(收益=产值-防害费用)为目标,请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案,并说明理由.方案1:选择防害措施A,可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产,费用是18万;方案2:选择防害措施B,可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害,但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害,费用是10万;方案3:不采取防虫害措施.22.(12分)已知函数.(1)当时,比较与的大小;(2)若函数,且,证明:. 高2024届期中考试数学试卷参考答案单选:1—4:ADAB 5—8:BCCB多选:9.ACD 10.AB 11.ACD 12.BD详解:1.由得,,所以,2.设,依题意,,,所以,解得,则.3.由,得,即,所以.4.设等比数列的公比为,由于成等差数列,所以,由于,所以,所以,所以,,所以.5.四棱锥的底面是正方形,平面,则此四棱锥可补形成长方体,如图,  显然直线是平面与平面的交线,由平面,得,因此是平面与平面所成二面角的平面角,在中,,则,,所以平面与平面夹角的余弦值为.6.所有对局中,恰有一组对局是不公平对局的情况为:2名外挂玩家都分到了同一组对局,记该事件为事件,则.7.设点,则,令,,可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值,若直线与函数的图象相切,设切点的横坐标为,因为,可得,解得:,则切点为,且切点在上,故,点到直线的距离为,所以,又因为有解,则,此时点P在上,也在直线在点P处的垂线即直线上,其中直线在点P处的垂线的斜率为,所以直线在点P处的垂线方程为:即点坐标满足,解得,即.8.令,设且,则,令,则,所以单调递增,则,故单调递增,所以,故在上恒成立,则,即,由三角函数线,时有,则,即.综上,.9.对于A,设(),则,所以,而,所以成立,故A正确;对于B,设(),当均不为时,为虚数,而为实数,所以不成立,故B错误;对于C,,则复数对应的点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,的几何意义为复数对应的点与两点间的距离,所以,如图可知,当点P为时,最大,取最大值,最大值为2,故C正确;  对于D,设(),(),由,则,则;;所以,故D正确.10.对于A:因为,所以,所以,A正确;对于B:因为是锐角三角形,所以,即,因为且,在区间单调递增,所以,B正确;对于C:,即,即,所以,而A,B为三角形内角,所以或者,所以是等腰三角形或者直角三角形,C错误;对于D:易求出,而,所以,化简可得,解得或者,当时此时是最大角且,所以满足钝角三角形,此时,当时此时为最大角且,所以满足钝角三角形,此时,所以D错误,11.设,对于A选项,,由余弦定理可得,所以,,所以,,因为底面,平面,则,因为,、平面,所以,平面,因为平面,所以,,A对;对于B选项,因为底面,所以,与平面所成的角为,且,又因为为锐角,故,即与平面所成角为,B错;对于C选项,因为四边形为平行四边形,则,且,所以,异面直线与所成角为或其补角,因为底面,平面,则,所以,,则,故异面直线与所成角的余弦值为,C对;对于D选项,因为底面,,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,    则、、、,设平面的法向量为,,,则,取,则,设平面的法向量为,,,则,取,可得,所以,,所以,平面与平面夹角的余弦值为,D对.12.作出在上的图象,如图所示:对于A,因为,又因为方程有四个互不相等的实数根,所以,故A错误;对于B,由题意可得,,且有,,所以,故,当,即时,等号成立,故B正确;对于C,由题意可得,由A可知,所以,故C错误;对于D,由题意可知与关于直线对称,且,,所以,故.因为,所以.又因为,所以,在上单调递减,故,所以,,所以.因为,,所以,在单调递增,所以,故,所以的取值范围为,故D正确.13. 14.7 15. 16.13.因为为锐角,,所以为第二象限角,又,所以.14.若公差为且,则,由.15.由已知可得,一次投球中,三人中恰有两人投篮命中的概率;一次投球中,三人投篮均命中的概率.所以,在一次投球中,三人中至少有两人投篮命中的概率.16.根据题意可知,,由,可得恒成立,令,则,现证明恒成立,设,,当时,解得,当时,,单调递减,当时,,单调递增,故时,函数取得极小值即最小值,,所以,即恒成立,,,当且仅当(该方程显然有解)时取等号,所以,即.所以实数的取值范围是.17.(1)当时,;或,解得,故,故;(2)由得,当时,;当时,,故,解得,即实数的取值范围为或.18.(1)因为,所以不为常数,由,得,即,解得或(舍去),当时,,当时,,所以,.(2)当时,,当时,,①则,②①-②:.所以,所以.经检验,当时,满足上式,所以.19.(1)由题意得,∴最小正周期,则,∴.若选①,为奇函数,则,∴,即∵,即,∴即,∴.若选②,当时,∴即,∵,∴,∴.若选③,是函数的一条对称轴,∴即∵,∴,∴.(2)∵,∴,即,∵即,∴,即,又∵,的面积,∴得,在中,由余弦定理得:,解得.20.(1)证明:如图所示,取中点F,连接DF,EF,因为D,E,F分别为,,的中点,所以,,又因为平面,平面,平面,平面,所以平面,平面,又因为,平面,所以平面平面,又因为平面DEF,所以平面.  (2)解:如图所示,连接,因为分别为的中点,所以,且,又因为D为的中点,所以,且,所以,且,即四边形AOED为平行四边形,即,因为面,所以面.又因为面,所以,可得,以为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,设,则,可得,,,,,则,,,,设平面的法向量为,则,取,可得,所以.设平面的法向量为,则,取,可得,所以,则,所以平面与平面的夹角的余弦值为.  21.(1)由散点图可以判断,更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.(2)将两边同时取自然对数,可得,由题中的数据可得,,,所以,则,所以z关于x的线性回归方程为,故y关于x的回归方程为;(3)用,和分别表示选择三种方案的收益.采用第1种方案,无论气温如何,产值不受影响,收益为万,即采用第2种方案,不发生28℃以上的红蜘蛛虫害,收益为万,如果发生,则收益为万,即,同样,采用第3种方案,有所以,,,.显然,最大,所以选择方案1最佳.22.(1)设函数,则,当时,,则在上单调递增,所以,从而,即;(2)设函数,当时,,,则恒成立,则由,得,又,所以,因为,所以,令,则恒成立,所以在上单调递增,则,所以在上单调递增,又,,所以,要证,只需证,即证.因为,所以.设函数,则,所以在上单调递增,因为,所以,所以,所以,所以,从而得证.

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