民乐一中2023-2024学年第一学期高三年级第二次诊断考试数学一、选择题1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；【详解】因为，所以，所以.故选：D.2.一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根，所以，解得，所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是.故选：C.3.已知点是角终边上一点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.【详解】依题意点P的坐标为，，；故选：D.4.设是等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，根据题意可将都用表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故选：A.5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊值的正负，再排除选项，即可求解.【详解】函数的定义域为，由，则偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，又，故排除B，故选：D.6.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A.北偏东 B.北偏东C.北偏东 D.北偏东【答案】C【解析】【分析】根据方位角的概念结合正弦定理、余弦定理求解.【详解】作出示意图如图所示，根据题意，，根据余弦定理，因为，所以，因为，所以，因为为锐角，所以，所以从海岛出发沿直线到达海岛，航行的方向是北偏东，航行的距离是海里，故选:C7.设等差数列，的前n项和分别为，，若，则为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，得，此由可得结论．【详解】是等差数列，则，∴．故选：C．8.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故二、多项选择题9.已知等差数列是递增数列，且，其前项和为，则下列选择项正确的是（）A. B.当时，取得最小值C. D.当时，的最小值为8【答案】ACD【解析】【分析】设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，可判断AC；由等差数列前项和公式，结合二次函数的性质和不等式的解法，可判断BD．【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，得，则，故AC正确；因为，由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，所以，当或4时最小，故B错误；令，解得或，即时的最小值为8，故D正确．故选：ACD．10.下列说法正确的有A.在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形C.△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D.在△ABC中，若sinA=，则A=【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.【详解】由正弦定理可得：即成立，故选项A正确；由可得或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；在中，由正弦定理可得，则是的充要条件，故选项C正确；在△ABC中，若sinA=，则或，故选项D错误.故选：AC.【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题.11.已知函数，则（）A.是偶函数 B.在区间上单调递减C.在区间上有四个零点 D.的值域为【答案】ABD【解析】【分析】由定义判断A；由正弦函数的单调性判断B；由在上的零点结合奇偶性判断C；讨论的值域，结合奇偶性判断D.【详解】对于A：其定义域为，，即函数是偶函数，故A正确；对于B：时，，由正弦函数的单调性可知，在区间上单调递减，故B正确；对于C：时，，此时，可得或，因为是偶函数，所以在区间上的零点为，故C错误；对于D：当，且时，.当，且时，，.又是偶函数，所以函数的值域为，故D正确；故选：ABD12.已知函数，，使方程有4个不同的解：分别记为，其中，则下列说法正确的是（）.A. B.C. D.的最小值为14【答案】AC【解析】【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可.【详解】如图，时，方程存在4个不同根，当时，，时，得即，由正弦函数对称性知，，在上单调递增，所以；，在上单调递减，所以，无最小值，故选：AC【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键.三、填空题13.已知在上的最大值为M，最小值为m，若，则______．【答案】−2或−4【解析】【分析】根据区间和二次函数对称轴的相对位置，结合二次函数的单调性分类讨论求解即可.【详解】二次函数的对称轴为：，当时，即，函数在上单调递增，所以，由，得，不满足，舍去；当时，即时，函数在上单调递减，所以，由，得，不满足，舍去，当时，则，此时，若时，即时，，由，得，或舍去，若时，即，，由，得，或舍去，综上所述：或，故答案为：−2或−4【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论是解题的关键.14.若，则__________；【答案】【解析】【分析】由题意，是的2倍，根据余弦二倍公式，即可求解.【详解】由题意故答案为：点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.15.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16.函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意得，进而得，故当时，，且在上单调递减，进而根据奇函数性质得函数在上的单调递减函数，然后讨论即可.【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，因为当时，，所以，解得，所以当时，，当时，所以由二次函数的性质得时，函数单调递减，在上单调递减易知当时，原不等式，解得；当时，无实数解；当，无实数解；当，即时，原不等式，解得；当，即时，，，满足题意；当，即时，，，不满足题意.综上，原不等式的解集为：故答案为：四、解答题17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得答案;（2）由余弦定理求得a值，然后利用面积公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理得，得．因为，所以，所以，即．【小问2详解】由余弦定理得，得，所以，故的面积为．18.问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，.下列三个条件：①成等比数列；②；③.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）选①②③分别与组成方程组，解出首项与公差即可得解；（2）利用裂项相消法求出数列的前项和为，即可得证.【小问1详解】设等差数列的公差为.选条件①：∵S3＝6，a2，a4，a8成等比数列，∴，解得，故数列的通项公式为.选条件②：∵S3＝6，S4＝5a2，∴，解得，故数列的通项公式为.选条件③：∵S3＝6，（n+1）an＝nan+1，∴，解得，故数列的通项公式为.【小问2详解】证明：∵＝，∴+…+＝＝.19.已知函数．若函数在处有极值-4．（1）求的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于的方程组，求得后再根据导函数的符号求出单调递减区间．由求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性，求出函数在上的极值和端点值，通过比较可得的最大值和最小值．试题解析：（1）∵，∴，依题意有即，解得∴，由，得，∴函数的单调递减区间由知∴，令，解得．当变化时，的变化情况如下表：由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．故可得又．∴综上可得函数在上的最大值和最小值分别为和．20.已知函数，.（1）求的最小正周期和单调区间；（2）求在闭区间上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间是，单调递减区间是；（2）最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的性质即得；（2）利用正弦函数的性质即求．【小问1详解】由，∴的最小正周期为，由，得，由，得∴函数单调增区间为，函数单调减区间为；【小问2详解】由于，所以，所以，故，故函数的最小值为，函数的最大值为．21.已知等差数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）结合等差数列下标性质可得，再由前项和公式，即可求解；（2）由（1），再结合错位相减法即可求解；【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，，∴，∴，∴.（2）由（1）可知，∴数列的前项和为，，两式作差，得，∴.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前项和，属于中档题22设函数.（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅱ）证明：当时【答案】（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.