赣州市2023年高三年级适应性考试数学(理科)参考答案一、选择题题号123456789101112答案DBCABCACADDB二、填空题76213．78.5；14．2；15．；16．．62三、解答题17．解：（1）由正弦定理得3sinBcosCsinA3sinCcosB……………………………1分又sinAsin(BC)，所以3sinBcosCsinBcosCcosBsinC3sinCcosB…………2分整理得sinBcosC2sinCcosB………………………………………………………………3分所以tanB2tanC……………………………………………………………………………4分tanB故2……………………………………………………………………………………5分tanC10310（2）由cosA得，sinA，于是tanA3……………………………………6分1010tanBtanC又tanAtan(BC)，再结合（1）得2tan2CtanC10………7分1tanBtanC1解得tanC（舍去）或tanC1…………………………………………………………8分225法一：所以tanB1，从而B45，sinC…………………………………………9分522于是由正弦定理得ba………………………………………………………………10分31由absinC2得ab42…………………………………………………………………11分2所以a6……………………………………………………………………………………12分hhh法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，设ADh，则CDh,BD……9分tanCtanB23从而aBC公众号：网课来了2112a由Sah2得，a2，即a6…………………………………………12分ABC22318．（1）证明：因为面PAB⊥平面ABCD，面PAB平面ABCDAB，AB⊥AD………1分所以AD⊥平面PAB……………………………………………………………………………2分所以PB⊥AD，又因为PB⊥PA，所以PB⊥平面PAD………………………………………4分而PB平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAD………………………………………………6分赣州市2023年高三适应性考试理科数学参考答案1（2）由（1）知，PB⊥PA，PB⊥PD，所以APD是二面角DPBA的平面角，2由已知得tanAPD公众号：网课来了2在等腰直角三角形△PAB中，由AB2可得PA2，2在Rt△PAD中，由tanAPD可得AD1……………8分2法一：因为PB⊥平面PAD，所以平面PBD⊥平面PAD，过A作AE⊥PD，垂足为E，则AE⊥平面PBD……………9分连接BE，则ABE是AB与平面PBD所成的角…………10分6AE6在Rt△PAD中，可得AE，在Rt△PAD中，sinABE………………11分3AB66而AB∥CD，故直线CD与平面PBD所成角的正弦值为……………………………12分6法二：如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),P(0,0,1),D(1,1,0),C(0,1,0)………………9分PB(1,0,1),BD(2,1,0)，设平面PBD的法向量n(x,y,z)，PBn0xz0由得，令x1，BDn02xy0则n(1,2,1)……………………………………………………10分DC(1,0,0)，设直线CD与平面PBD所成角为，|nDC|6则sin………………………………………11分|n||DC|66故直线CD与平面PBD所成角的正弦值为……………………………………………12分619．解：（1）x6.50.027.50.098.50.229.50.3310.50.2411.50.0812.50.029.5………………………………………………………………………………2分s290.0240.0910.2200.3310.2440.0890.021.5……………4分11（2）①因为P(X≥2)0.95440.9772……………………………………6分22所以a27.06…………………………………………………………………………7分②记这500件零件中质量指标不小于7.06的件数为Y，则Y～B(500,0.9772)…………………………………………………………………………8分P(Yk)≥P(Yk1)假设P(Yk)最大，则由…………………………………………9分P(Yk)≥P(Yk1)kk500k≥k1k1501kC5000.97720.0228C5000.97720.0228即，kk500k≥k1k1499kC5000.97720.0228C5000.97720.0228解得488.62≤k≤489.58…………………………………………………………………10分所以k489…………………………………………………………………………………11分赣州市2023年高三适应性考试理科数学参考答案2故这500件零件中质量指标不少于7.06的件数最有可能是489件……………………12分ex1x120．（1）解：g(x)lnxx(x0)，则g(x)(ex1x)……………………1分xx2记G(x)ex1x，则G(x)ex11，当x(0,1)时，G(x)0；当x(1,)时，G(x)0．于是G(x)在(0,1)上递减，在(1,)上递增，所以G(x)≥G(1)0………3分所以当x(0,1)时，g(x)0；当x(1,)时，g(x)0………………………………4分f(x)故y在(0,1)上递减，在(1,)上递增………………………………………………5分x（2）记h(x)f(x)ax1，则h(1)0……………………………………………………6分假设存在a，使h(x)≥0，即h(x)≥h(1)，于是h(1)是函数h(x)的最小值，所以h(1)0………………………………………………7分h(x)ex1lnx12axa，由h(1)0得a0…………………………………………8分由（1）知，ex1≥x，从而lnx≤x1……………………………………………………9分于是h(x)ex1lnx1≥x(x1)10………………………………………………10分所以h(x)在(0,)上递增，故当x(0,1)时，h(x)h(1)0，不合题意……………11分综上，不存在实数a，使f(x)≥ax1成立………………………………………………12分21．解（1）①当20时，在PF1F2由余弦定理得22………………………………………分|F1F2|(|PF1||PF2|)2|PF1||PF2|(1cos2)1所以2224(|PF1||PF2|)4|PF1||PF2|cos(|PF1||PF2|)8所以………………………………………………………………………分|PF1||PF2|232②当时，点在轴上，不妨设点在轴的正半轴上，则，20PxPx|PF1||PF2|2，由2……………分|PF1||PF2|2|PF1||PF2|(|PF1||PF2|)4|PF1||PF2|233综上，……………………………………………………………………分|PF1||PF2|234因为，所以的轨迹是以为焦点且长轴长为的椭圆，|PF1||PF2|23|F1F2|PF1,F223x2y2a3,c1,b2，故P的轨迹E的方程为1………………………………5分32（2）设l的方程为xmy1，代入E的方程得(2m23)y24my404m4设A(x,y),B(x,y)，则yy,yy………………………………6分1122122m23122m23由关于原点的对称点为点，知BOCC(x2,y2)x1x1直线和的方程为，，其中12AF2CF1xm1y1xm2y1m1,m2y1y2由得2……………………………………………………………分m1y1m2y1y7m2m1mmmm2从而x21，所以T(21,)………………………………………………8分m2m1m2m1m2m1赣州市2023年高三适应性考试理科数学参考答案32所以直线OT的斜率k…………………………………………………………9分m1m22myy2(yy)2(yy)而122121………………………………分m2m12m4m10y1y2y1y21所以k，公众号：网课来了2m11则直线l的斜率和直线OT的斜率的倒数之和的绝对值为|2m|||2|m|≥22mm12当||2|m|即m时，取“”号………………………………………………11分m22故直线l的方程为xy1……………………………………………………………12分222．解：（1）C的普通方程为x2y22y0(y≥1)………………………………………2分π3π由xcos,ysin得，C的极坐标方程为2sin(≤≤)（或442sin(≥2)）(注：未标注范围扣1分………………………………………………5分π3π（2）设M(,)，则P(,)，且2sin(≤≤)………………………………6分44π3π由|OP||OM|4得4，所以sin2(≤≤)……………………………8分44即y2(2≤x≤2)…………………………………………………………………………9分故点M的轨迹的直角方程为y2(2≤x≤2)．(注：未标注范围扣1分）…………10分3x9,x≤523.解：（1）由f(x)x12x5x11,5x≤1…………………………………3分3x9,x1所以函数f(x)在(,5)递减，在(5,)递增…………………………………………4分故f(x)的最小值为f(5)6………………………………………………………………5分（2）若(ab)(ab)≥0，则|ab||ab||(ab)(ab)|2|a|6………………7分若(ab)(ab)0，则|ab||ab||(ab)(ab)|2|b|6……………………9分因此，|ab||ab|6，而f(x)≥6，故|ab||ab|f(x)……………………………………………………………………10分赣州市2023年高三适应性考试理科数学参考答案4