2023~2024学年度第一学期期中学业水平诊断高三数学参考答案一、选择题:1.B2.A3.D4.A5.D6.A7.C8.C二、选择题9.ACD10.AB11.BC12.BCD三、填空题13.14.15.16.四、解答题17.解:(1)由题知,,所以,,所以,. 2分所以,. 3分所以,,即, 4分故的单调递增区间为. 5分(2)将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得,再向右平移个单位长度,得. 6分所以, 8分因为,,所以,时,取得最大值为. 10分18.解:(1)当时,,则或,因为,所以; 2分当时,,两式相减得,,即,因为,所以,即, 4分故数列是以为首项,为公差的等差数列. 5分(2)由(1)知,,所以, 7分 10分所以,. 12分19.解:(1)由题知,每年的追加投入是以为首项,为公比的等比数列,所以,; 3分同理,每年牧草收入是以为首项,为公比的等比数列,所以,. 6分(2)设至少经过年,牧草总收入超过追加总投入,即,即, 8分令,则上式化为,即, 9分解得,即,所以,,即,所以. 11分所以,至少经过年,牧草总收入超过追加总投入. 12分20.解:若选①:(1)由正弦定理得,, 1分因为,所以,即,又因为,, 3分所以. 4分(2)在中,,则,. 6分因为是锐角三角形,所以,即,即,所以,所以, 7分所以. 8分设,则,令,,则,令,则,则在上单调递减,在上单调递增, 10分所以,即的取值范围为. 12分若选②:(1)因为,所以,所以, 1分所以,所以. 3分又,解得或(舍),所以. 4分(2)在中,,则,, 6分因为是锐角三角形,所以,即,即,所以,所以, 7分所以. 8分设,则,令,,则,令,则,则在上单调递减,在上单调递增, 10分所以,即的取值范围为. 12分若选=3\*GB3③:(1)由正弦定理得,, 1分因为,所以,所以,所以. 3分又因为,,所以,又,解得. 4分(2)在中,,则,, 6分因为是锐角三角形,所以,即,即,所以,所以, 7分所以. 8分设,则,令,,则,令,则,则在上单调递减,在上单调递增, 10分所以,即的取值范围为. 12分21.解:(1)由题知,, 1分所以,当时,恒成立,所以,令,解得.所以,当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增; 3分当时,令,解得或,所以,当,即时,时,,在上单调递减,当时,,在和上单调递增; 4分当,即时,时,,在上单调递减,当时,,在和上单调递增; 5分当时,在上恒成立,所以,在上单调递增. 6分(2)由(1)知,当时,在上单调递减,在和上单调递增,且当时,,当时,,所以,若方程始终有三个不相等的实根,则,即在上恒成立. 8分当时,显然. 9分令,则,因为,所以,,所以,恒成立,所以,在上单调递减,所以,. 11分综上,若方程始终有三个不相等的实根,的取值范围为. 12分22.解:(1)由题得,, 1分令,则函数有两个极值点,即方程有两个正实数根. 2分因为,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,,且当时,,时,. 4分所以,方程有两个正实数根,只需,解得, 5分即函数有两个极值点时,的范围为. 6分(2)若且,则令,由(1)知,,即,则,即,解得,,所以,. 8分所以,, 9分令,则, 10分令,则所以函数在上单调递增,且,所以,, 11分所以,当时,,所以,在上单调递增,所以,当时,.即的最大值为. 12分
山东省烟台市2023-2024学年高三上学期期中学业水平诊断数学试题答案
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