2024届高三第一次联考理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知幂函数的图象过点，则（）A. B.1 C.2 D.33.已知为虚数单位，，则的模为（）A.1 B. C.2 D.44.已知，若，则（）A. B. C.-7 D.75.在中，“”是“为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在等比数列中，，是方程两根，若，则的值为（）A.3 B.-3 C.9 D.-97.已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.128.已知函数，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.9.已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（）A. B. C. D.10.已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.11.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.12.已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数则____________.14.已知数列的前项和为，且，则____________.15.设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_____________.16.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）某地区运动会上，有甲、乙、丙三位田径运动员进入了男子100m决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这三位运动员近几年的大赛100m成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三位运动员的比赛成绩相互独立.（1）分别估计甲、乙、丙三位运动员“破十”的概率；（2）设这三位运动员在这次决赛上“破十”的人数为X，估计X的数学期望.18.（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，，，求的长.19.（12分）如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）设点为上一点，且满足，求二面角的平面角大小.20.（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短半轴长为1，点在椭圆E上运动，且的面积最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）当点为椭圆的上顶点时，过点分别作直线，交椭圆E于M，N两点，设两直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.21.（12分）已知函数，.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设函数，若恒成立，求的最小值.（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交弦的中点坐标为，求直线的极坐标方程.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知定义域为的函数.（1）若，求函数的最小值；（2）若，不等式恒成立，求实数的最小值.