专题33线性规划问题例1．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为千万元，投资远洋捕捞队的资金为千万元．（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润的分布列和数学期望．（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．【解析】解：（1）随机变量的可能取值为，0，，随机变量的分布列为，00.60.20.2；（2）根据题意得，，满足的条件为①，由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为：，本地养鱼场的年利润为千万元，明年连个个项目的利润之和为，作出不等式组①所表示的平面区域若下图所示，即可行域．当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大．解方程组，得的最大值为：千万元．即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元．例2．某渔业公司为了解投资收益情况，调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近10个月的利润情况．根据所收集的数据得知，近10个月总投资养鱼场一千万元，获得的月利润频数分布表如下：月利润（单位：千万元）00.10.3频数21241近10个月总投资远洋捕捞队一千万元，获得的月利润频率分布直方图如下：（Ⅰ）根据上述数据，分别计算近10个月养鱼场与远洋捕捞队的月平均利润；（Ⅱ）公司计划用不超过6千万元的资金投资于养鱼场和远洋捕捞队，假设投资养鱼场的资金为千万元，投资远洋捕捞队的资金为千万元，且投资养鱼场的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的2倍．试用调查数据，给出公司分配投资金额的建议，使得公司投资这两个项目的月平均利润之和最大．【解析】解：（Ⅰ）近10个月养鱼场的月平均利润为：（千万元）．（3分）近10个月远洋捕捞队的月平均利润为：（千万元）．（6分）（Ⅱ）依题意得，满足的条件为，（8分）设两个项目的利润之和为，则，．．（9分）如图所示，作直线，平移直线知其过点时，取最大值，（10分）由，得，所以的坐标为，（11分）此时的最大值为（千万元），所以公司投资养鱼场4千万元，远洋捕捞队2千万元时，两个项目的月平均利润之和最大．（12分）例3．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，（国际电工委员会）风能风区分类标准如表：风能分类一类风区二类风区平均风速某公司计划用不超过100万元的资金投资于、两个小型风能发电项目．调研结果是，未来一年内，位于一类风区的项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性为0.4；项目位于二类风区，获利的可能性为0.6，亏损的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资项目的资金为万元，投资项目资金为万元，且公司要求对项目的投资不得低于项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出，满足的条件，并将它们表示在平面内；（2）记投资，项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．【解析】解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于、两个小型风能发电项目，公司要求对项目的投资不得低于项目可得，表示的区域如图所示；（Ⅱ）随机变量的分布列为0.60.4；随机变量的分布列为00.60.20.2；（Ⅲ），可得根据图象，可得时，估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值为17.5万元．例4．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，（国际电工委员会）风能风区的分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速某公司计划用不超过100万元的资金投资于、两个小型风能发电项目．调研结果是：未来一年内，位于一类风区的项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性为0.4；项目位于二类风区，获利的可能性为0.6，亏损的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资项目的资金为万元，投资项目资金为万元，且公司要求对项目的投资不得低于项目．（Ⅰ）记投资，项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（Ⅱ）根据以上的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．【解析】解：（1）项目投资利润的分布列0.60.4项目投资利润的分布列：00.60.20.2（2）而，作出可行域如右图，由图可知，当，，公司获得获利最大，最大为17.5万元．故建议给两公司各投资50万．例5．据（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速假设投资项目的资金为万元，投资项目资金为万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性为0.4；位于二类风区的项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．（1）记投资，项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于，项目，且公司要求对项目的投资不得低于项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值．【解析】解：（1）投资项目的资金为万元，未来一年内，位于一类风区的项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性为0.4，项目投资利润的分布列：0.60.4．投资项目资金为万元，未来一年内，位于二类风区的项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．项目投资利润的分布列：00.60.10.3．（6分）（2）由题意知，满足的约束条件为，（9分）由（1）知，，当，，取得最大值15．对、项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元．（12分）例6．某矿业公司对、两个铁矿项目调研结果是：项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性为0.4；项目获利的可能性为0.6，亏损的可能性为0.2，不赔不赚的可能性为0.2．现计划用不超过100万元的资金投资、两个项目，假设投资项目的资金为万元，投资项目的资金为万元，且公司要求对项目的投资不得低于项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出，满足的条件，并将它们表示在平面内；（2）记投资、项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（3）根据（1）的条件和调研结果，试估计两个项目的平均利润之和的最大值．【解析】解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于、两个小型风能发电项目，公司要求对项目的投资不得低于项目可得，表示的区域如图所示；（Ⅱ）随机变量的分布列为0.60.4；随机变量的分布列为00.60.20.2；（Ⅲ），，可得，根据图象，可得时，估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值为17.5万元．例7．假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布，的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为．（Ⅰ）求的值；（参考数据：若，有，，．（Ⅱ）某客运公司用，两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，，两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元辆和2400元辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆．若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆？【解析】解：（Ⅰ）由于随机变量服从正态分布，，故有，，．由正态分布的对称性，可得（Ⅱ）设型、型车辆的数量分别为，辆，则相应的营运成本为．依题意，，还需满足：，，．由（Ⅰ）知，，故等价于．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数达到最小值的，．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为，，．由图可知，当直线经过可行域的点时，直线在轴上截距最小，即取得最小值．故应配备型车5辆，型车12辆．