微专题22计数原理与概率统计压轴小题典型例题例1．（2022·全国·高三专题练习）我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.【答案】198【解析】【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为．当时，共有1种情况，即；当时，共有3种情况，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；当时，共有5种情况，即，，，，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有2种情况，即，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有5种情况，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；当时，共有2种情况，即，；当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋2＋1＝33(种)情况，∴不同的放法共有：种．故答案为：198．例2．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）①；②；③；④.【答案】②④##④②【解析】【分析】随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.【详解】因为，所以①不正确；因为，所以②正确，③不正确；因为，所以，所以④正确.故答案为：②④.例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.【答案】【解析】【分析】设，由正弦定理可得，从而可求的值，再由正弦定理可得，进而根据所求概率为代入即可求解.【详解】解：设，由题意可得，化简得，，又由正弦定理可得，即，所以所求概率为，故答案为：.例4．（2022·全国·高三专题练习）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前项和，则______.【答案】【解析】【分析】由题设关系，应用累加法可得，进而可得的通项公式，再应用裂项相消法求.【详解】，，，…，，，将上述各式相加，得，即，∴，∴.故答案为：例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式的性质化简可得，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则，因为，所以，所以，所以对恒成立，所以，，所以等差数列的通项公式，所以，所以数列的前项和．故答案为：.例6．（2022·全国·高三专题练习）数列共项，且，，关于的函数，，若是函数的极值点，且曲线的在点处的切线的斜率为，则满足条件的数列的个数为__________．【答案】【解析】【分析】求导，由题意可得出，根据导数的几何意义，即可求得或，分类讨论，即可求得满足条件的数列的个数.【详解】因为，则，由已知可得，则.由题意可得，可得，，可得或.①当时，，得的值有个，个，，得的值有个，个，此时，数列的个数为个；②当时，，得的值有个，个，，得的值有个，个，此时，数列的个数为个.综上所述，数列的个数为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查数列个数的求解，解题的关键在于确定的值的个数，结合组合计数原理和分类加法计数原理求解.例7．（2022·全国·高三专题练习）考查等式：(*)，其中，且.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的件产品中恰有件次品}，则，，1，2，…，.显然，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.【答案】①③【解析】【分析】构造概率模型，从中随机取出件产品，记事件{取到的产品中恰有件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根据，，…，为互斥事件，且(必然事件)，即可判断.【详解】设一批产品共有件，其中件是次品，其余件为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的产品中恰有件次品}，则取到的产品中恰有件次品共有种情况，又从中随机取出件产品，共有种情况，，1，…，，故其概率为，，1，…，.∵，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.从而可知正确的序号为：①③.故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：本题以概率为依托，证明组合中的等式问题，解题的关键是构造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，题目新颖.例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.【答案】【解析】【分析】分涂4种，3种或2种颜色，再分别计算涂色的方法种数.【详解】①对涂4种颜色，对于剩下的各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是相同的，即当某个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么共有2种情况，共有种，②对涂3种颜色，对于从4种颜色中取3种，即，从这3种颜色中取1种来作重复的一种，即，再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，再对其他不重复的2种进行排列，即对于剩下的同①一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有种，③涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有种方法，共2种颜色，故共有种方法，所以一共有种方法.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查排列，组合，计数原理的综合应用，本题的关键是正确分类的涂色方法种数，并且先涂，再涂.过关测试一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）设是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据各选项的期望，分别判断、、、在定义域内是否存在下凹区间即可.【详解】A：由且定义域为，则，，即为上凸函数，有，所以；B：由且定义域为，则，，显然上，即在为下凹函数，，所以存在；C：由，则，，显然在，上，即在，为下凹函数，有，所以存在；D：由，则，，显然存在上，即在为下凹函数，有，所以存在.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用函数二阶导数的几何意义判断各选项对应函数定义域内是否存在下凹区间即可.2．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法不正确的有（       ）A．，B．C．D．是，，，…，是最大值【答案】B【解析】【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A，D正确，根据计算可得，，所以C正确.【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，当时，故，是，，，…，的中间项，故最大，所以A，D正确；令可知：；当时，，，，，所以，所以B不正确；令可知，，即；又因为.故，C正确.故选：B.3．（2022·新疆·一模（理））如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（       ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】分类分步排列即可.【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，故选：B.4．（2022·重庆南开中学模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（       ）A．在第9条斜线上，各数之和为55B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小C．在第条斜线上，共有个数D．在第11条斜线上，最大的数是【答案】A【解析】【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为判断A选项，再根据杨辉三角得到第n条斜线上的数为：，进而判断BCD.【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，其规律是，所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A错误；第1条斜线上的数：，第2条斜线上的数：；第3条斜线上的数：，第4条斜线上的数：，第5条斜线上的数：，第6条斜线的数：，……，依此规律，第n条斜线上的数为：，在第11条斜线上的数为，最大的数是，由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有个数；n为偶数时，第n条斜线上共有共有个数，所以第n条斜线上共，故C正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.故选：A.5．（2022·福建泉州·高三开学考试）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（       ）A．B．C．D．.【答案】AB【解析】【分析】由已知得数列的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列的偶数项为，即偶数项为负数，当时，，由此判断A选项；将代入，求得；将代入，求得；将代入，求得；将代入，求得，再运用作差比较法，可判断得选项.【详解】解：因为数列的通项公式为，所以数列的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列的偶数项为，即偶数项为负数，又数列的前项中，任取两项都是正数的概率为，当时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为，故A正确；将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，所以，所以，故B正确；，所以，故C错误；，所以，故D错误，故选：AB.6．（2022·全国·高三专题练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，所以所求的概率．故选：A．7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（ ）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）【答案】D【解析】【分析】由题意可知a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝，进而可求ξ3的期望，可判断AB；再结合条件求P（ξ5＝0），可判断CD.【详解】依题意a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝，ξ3＝a3的可能取值为2，0，－2P（ξ3＝2）＝×＝，P（ξ3＝0）＝2×＝，P（ξ3＝－2）＝＝，E（ξ3）＝2×+