渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，集合，则（ ）A． B． C． D．已知向量满足，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．3.剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ）A． B．C． D． 4.若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，则该正四棱台的体积为（    ）A．B．28 C． D．已知，则（    ）A． B． C． D．6.已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（   ）A．6 B．8 C．4 D．2M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（  ）A．1 B．2C．3 D．4设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数，则下列说法正确的是（  ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上最小值为D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象10.已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）A． B．椭圆C的离心率为C．直线l的方程为 D．的周长为11．在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（   ）A．三棱锥的体积为定值B．若∥，则平面C．若，则与平面所成角为D．若∥平面，则与所成角的正弦最小值为12.已知定义在R上的函数和，是的导函数且定义域为R.若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的两条渐近线方程为，若焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为______________________．各项均为正数的等比数列的前n项和为，且成等差数列，若，则___________．15．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为．16.在直角中，，平面内动点P满足，则的最小值为________________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（10分）在数列中，，.（1）求证：为等差数列；（2）求的前n项和.（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．（12分）从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.求他第一项测试“通过”的概率；现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.（分）如图，在四棱台中，底面是正方形，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值．21.（分）与双曲线有共同的焦点的椭圆经过点.求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于A、B两点，交x轴于点，点A关于x轴的对称点为，直线交x轴于点.求的取值范围.22.（分）已知，.求曲线在点处的切线方程；当时，若关于x的方程存在两个正实数根，