陕西省西安中学高2025届高二第二次综合评价数学试题（时间：120分钟满分：120分命题人：刘婵）一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.抛物线的焦点到准线的距离为( )A. B. C. D.42.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为( )A.2 B.3 C.6 D.73.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.84.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的焦点到渐近线的距离是( )A.1 B. C.2 D.1或5.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院30天入院治疗流感的人数为( )A.225 B.255 C.365 D.4656.圆与直线交于A，B两点，则最小值为( )A.2 B. C.6 D.7.如右图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为( )A.1 B.2 C.3 D.48.已知圆，直线，P为上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为( )A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为( )A. B. C. D.10.已知数列的通项公式，若对恒成立，则满足条件的正整数k可以为( )A.6 B.7 C.8 D.911.已知圆C：，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是( )A.圆C关于x轴的对称圆的方程为B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为C.若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则D.若Q是圆C上的任意一点，则的最大值为12.在平面直角坐标系中，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线交C于不同的A，B两点，则下列说法正确的是( )A.若点，则的最小值是4B.C.若，则直线AB的斜率为D.的最小值是9三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分13.已知数列的前项和，则为_________.14.已知直线与椭圆相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则k的值为__________.15.如图，椭圆的中心在坐标原点，F是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率__________.16.已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是__________.四、解答题：本小题共5小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（8分）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线上.求圆C的方程;过点的动直线与圆C相交于M，N两点.当时，求直线的方程.18.（10分）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线求曲线E的方程;点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求的最小值.19.（10分）记是等差数列的前n项和，若，求的通项公式，并求的最小值；设，求数列的前n项和20.（10分）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．求双曲线的方程;如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值；21.（10分）已知平面上的动点P到定点的距离比到直线：的距离小求动点P的轨迹E的方程；过点的直线交E于A、B两点，在轴上是否存在定点M，使得A、B变化时，直线AM与BM的斜率之和是0，若存在，求出定点M的坐标，若不存在，写出理由.陕西省西安中学高2025届高二第二次综合评价数学答案和解析单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．1-5C B C B B6-8D B D多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.AD 10.BC 11.AB 12.ABD 12.【解答】解：对于A，由题意知，C的准线方程为，焦点，如图，过点A作C的准线的垂线，垂足为，则，故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确；对于B，由题意易知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为，，，由，得所以，，，，所以，故B正确；对于C，若，又，，所以，解得，则直线AB的斜率为，故C错误；对于D，，所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确，故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分13.16 14. 15. 16.（0,4）四、解答题：本小题共5小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】解：设圆心，则，圆经过点和，，解可得，，，即圆心，，故圆C的方程为：；圆C的方程为：，圆心，，①当直线l的斜率不存在时，直线l方程为：，此时，符合题意，②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：，即，圆心到直线l的距离，，，直线l的方程为：，综上所求，直线l的方程为：或 18.【答案】解：设动圆圆心为，半径为R，将圆的方程分别配方得：圆，圆，当动圆M与圆外切时，，当动圆M与圆内切时，，所以，所以点M的轨迹是焦点为，，且长轴长等于12的椭圆.所以动圆圆心M轨迹方程为由得，，设，所以，因为点P在椭圆上，所以，，所以，所以当时，，故的最小值为 19.【答案】解：设的公差为d，则，，，，由得，，2，3，4时，时，，的最小值为由知，当时，时，，，当时，当时，， 20.【答案】解：因为，所以，所以双曲线的方程为，即因为点在双曲线上，所以，所以所以所求双曲线的方程为即由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，由 ，得，所以同理可得，，所以21.【答案】解：设动点，且，则，化简得E：；假设存在符合题意的定点M，由题意，直线AB的斜率不为0，设定点M的坐标，直线AB的方程为，联立，可得，恒成立，设，，则，，，即，化简得，代入韦达定理得，解得故存在符合题意的定点M，且定点M的坐标为