2024届高三数学一模暨春考数学试卷时间：120分钟满分：150一．填空题：1.已知集合AN，Bx2x17，则AB__________．2.已知复数z满足z13i34i，则|z|__________．3.若tan3，则tan________.44.若要用反证法证明“对于三个实数a、b、c，若ac，则a¹b或bc”，应假设_____．2x15.曲线y在点1,3处的切线方程为__________．x2a6.已知幂函数fxx的图象过点3,33，且fm21，则实数m的取值范围是__________．37.若圆锥的侧面积为80π，且母线与底面所成角的大小为arcsin，则该圆锥的体积为5__________．68.在2x1的二项展开式中任取一项，则该项系数为无理数的概率为__________．9.已知algablgbclgc5，algbblgcclga2，则abc的值为___________.10.若存在实数a及正整数n，使得fxcos2xasinx在区间(0,nπ)内恰有2022个零点，则所有满足条件的正整数n的值共有_________个．11.在ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q（P、Q为不同两点），uuuruuur且APAB，AQAC，则的取值范围为______.x12.已知a,bR，设fxaxbxe2，若函数yfx在区间1,2上存在零点，则当a2b2取到最小值时yfx的零点为______.二．选择题：213.“1”是“a24”成立的（）aA.充分不必要条件B.必要不充分条件上海maths：做上海学子身边给力的辅助！1C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知对任意的x0,1，不等式xb2恒成立，则实数b值不可能是（）A.1B.0C.1D.215.已知{an}是公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，满足2a2022a2023a2024，则下列等式恒成立的是（）2A.S2024S2022B.S2024S20232S20222C.S2022S2024S2023D.S2022S20242S2023已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由16.a，bx1,x2,x3,x4,x5y1,y2,y3,y4,y5个和个排列而成，记，表示所有2a3bSx1y1x2y2x3y3x4y4x5y5SminS可能取值中的最小值，则下列命题中：①有个不同的值；②若，则与无关；S3abSminarr2π③若，则与无关；④若，，则与的夹角为a//bSminab2aSmin8aab.4正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个三．解答题：17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足1asinCcosBbsinAcosCa．2（1）求角A；3（2）若ABC为锐角三角形，求sinBsinC3sin2B的取值范围．4219.已知数列an满足a11，an2an13n2.（1）证明：数列an3为等比数列，并求an的通项公式；（2）在an与an1之间插入n个数，使这n2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、p成等差数列）成等比数列？若dndmdkdpmk存在，求出所有满足条件的m、k、p；若不存在，请说明理由.x2y220.已知双曲线Γ：1的左、右焦点为F1、F2，直线l与双曲线Γ交于Ax1,y1，43Bx2,y2两点.（1）已知l过F2且垂直于F1F2，求AB；（2）已知直线l的斜率为1，且直线l不过点P4,3，设直线PA、PB的斜率分别为kPA、kPB，求kPAkPB的值；yy（3）当直线l过F2时，直线AF1交轴于M，直线BF1交轴于N.是否存在直线l，使得SS，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由F1ABF1MNl.x21.已知函数fx．lnx（1）求fx在1,上的单调区间；1（2）存在x00,11,，使得kx0成立，求实数k的取值范围；fx02fmfn（3）若对于m、ne,e，不等式1恒成立，求实数a的取值范围．a20223参考答案：一．填空题：511、0,1,2,3；2、；3、；4、ab且bc成立．5、5xy20；6、1,；2237、128π；8、；719、【答案】10或10222【详解】由algablgbclgc5得：lgalgalgblgblgclgclgalgblgclg5，由algbblgcclga2得：1lgalgblgblgclgclgalgalgblgblgclgalgclg2lg2，22lgalgb2lgblgc2lgalgclg2，2222lgalgblgc2lgalgb2lgblgc2lgalgclgalgblgc2lgabclg5lg21，1lgabc1或lgabc1，abc10或abc.1010、【答案】5【详解】由题意知，fxcos2xasinx2sin2xasinx1，令fx0，tsinx，此时2t2at10，1a而2，，，a80t1t2tt2122则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，当t21时，0t11，一个周期2π内有两个零点，则n2022或n2021；1当t1时，t，2122022一个周期2π内有三个零点，则需要674个周期，3即n67421348；当1t20时，此时2a10，解得a1，4若1a1，此时0t11，则一个周期2π内有四个零点，20221则需要505个周期，42即n250511011；1若a1，此时t，t1，221则一个周期2π内有三个零点，2022则需要674个周期，3即n67421348；若a1，此时t11，一个周期2π内有两个零点，则n2022或n2023.综上所述，这样的正整数n有5个，分别是1011,1348,2021,2022,2023.故答案为：54311、【答案】,3211【详解】由题意1，1，22延长AG交BC于D，则D是BC中点，uuur2uuur21uuuruuur1uuur1uuurAGAD(ABAC)ABAC,33233uuuruuur11又APAB，AQAC，所以AGAPAQ，3311λ又P,G,Q三点共线，所以1，μ，333λ1，313133(32)设f()，则f()1，31(31)2(31)2122时，f()0，f()递减，1时，f()0，f()递增，233524133f()f()，又f()f(1)，即f()，min3322max243所以的取值范围是[,].325112、【答案】2【详解】设函数yfx在区间1,2上的零点为t，tt则，即，atbte20e2atbt2两边平方得etatbt，2由柯西不等式可得etatbta2b2t2t，当且仅当atbt0时等号成立，et即a2b2，t1,2，t2tet设gx，t1,2，t2tt1515t2ett则ett122，t1,2gx22t2tt2t1515令gx0，得t2，gx在,2上单调递增，2215令，得15，在上单调递减，gx01tgx1,2215et所以当t时，gx在1,2上取最小值，即a2b2取最小值.2t2t62证明柯西不等式：axbya2b2x2y2，2证明：axbya2b2x2y2a2x2b2y22abxya2x2b2y2a2y2b2x22a2y22abxyb2x2aybx0，2即axbya2b2x2y251故答案为：.2二．选择题：13、B；14、D；15、B；16、C；第16题解析：【详解】可能有三个结果：Sx1y1x2y2x3y3x4y4x5y52222222aabbb2a3b22222aababbba2ab2b；22ababababb4abb；22222222222a3baab2ba2ab2ba2ab2b22222ab2abb2ab2abb4abb，当且仅当ab时所有等号成立.2故，故③错误，①、②正确；Smin4abb设a与b的夹角为，2222，，b2aSmin4abb8acos4a8a1πcos,，④错误；23所以正确的个数为2个.三．解答题：717、（1）因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A表示甲命中，事件B表示乙命中，则PA0.8,PB0.9所以甲、乙两人同时命中目标的概率PABPAPB0.80.90.72,（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率PABPAPB10.810.90.02,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：PAB1PAB10.020.98118、（1）因为asinCcosBbsinAcosCa，21由正弦定理可得：sinAsinCcosBsinBsinAcosCsinA，21且A0,π，则sinA0，可得sinCcosBsinBcosC，21则sinBCsinπAsinA，2π5π所以A或A.66π5π（2）因为ABC是锐角三角形，则A，则CB，66235π23则sinBsinC3sinBsinBsinB3sinB464133133sinBcosBsin2B3sin2Bsin2Bsin2B224424131πsin2Bcos2Bsin2B，44235ππ0B62ππ由ABC是锐角三角形可得，即B,，π320B2π4ππ3则，可得，2Bπ,sin2B,033328233所以sinBsinC3sinB的取值范围为,0.4419、（1）解：因为数列an满足a11，an2an13n2，则当n2时，an32an13，且a134，所以，数列an3