2024年1月“七省联考”押题预测卷04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故.故选：B2．设复数在复平面内对应的点在第二象限，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】设，其中，，其中，所以复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D3．已知，，若，则=（）A20 B.15 C.10 D.5【答案】C【解析】因为，所以：.所以：所以：.故选：C4．已知函数的定义域为，满足．当时，则的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为函数的定义域为，满足，所以是偶函数，所以的图象关于y轴对称，故排除A；当时，，所以，故排除B，C．故选:D5．已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，所以.又，，且，所以，所以，.所以.故选：B6．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：，整理得：则，解得即，解得，代入得或，再利用焦半径公式得故选：B.7．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以为原点建系，，，即，故圆的半径为，∴圆，设中点为，，，∴，故选：D.8．设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数定义域为，，又函数存在两个极值点，所以方程在上有两个不相等的正实数根，则，解得，又设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增加，因为不等式恒成立，即恒成立，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组样本数据为不全相等个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（）A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差【答案】BC【解析】对于A，因为样本数据为不全相等的个正数，所以极差大于0，所以由生成一组新的的极差是极差的3倍，故A错误；对于B，设为的平均数，为的平均数，可得，当时，可得，故B正确；对于C，当为正奇数时，设样本数据的中位数为，则数据的中位数，当时，，故C正确；对于D，为的标准差，因为样本数据为不全相等的个正数，所以，设为的标准差，可得，则，，故D错误.故选：BC.10．在四棱锥中，底面是菱形，P在底面上的射影E在线段上，则（）A. B.C.平面 D.⊥平面【答案】AC【解析】A选项，由题意得⊥平面，底面是菱形，连接与交于点，则，⊥，因为，故，又，故，A正确；B选项，因为⊥平面，所以，由于与不一定相等，故不一定相等，B错误；C选项，因为底面是菱形，所以，又⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以平面，C正确；D选项，连接，若不重合，此时中，为斜边，故与不垂直，故与不垂直，故此时与平面不垂直，D错误.故选：AC11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则（）A.点的横坐标为2B.当时，C.当时，内切圆的半径为D.【答案】BCD【解析】由双曲线方程知：，令圆在x轴上的切点横坐标为，结合双曲线定义及圆切线性质有，即，所以圆在x轴上的切点与右顶点为重合，又轴，则的横坐标为1，A错；由，则，故，而，所以，故，得，所以，B对；若为内切圆圆心且知：以直角边切点和为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义：内切圆半径由B分析知：，C对；由分别是的角平分线，又，所以，结合A分析易知，在中，D对.故选：BCD12．投掷一枚质地不均匀的硬币，己知出现正面向上的概率为p，记表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件 B.C. D.【答案】ACD【解析】对A，因为对立事件互斥事件，所以A正确；对B，，所以B错；对C，由全概率公式可知，所以C正确；对D，由C可知，因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，因为且，所以，所以，所以是关于n的递减数列，所以，D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，则______.【答案】【解析】将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再向右平移个单位长度得到函数的图象，则，故答案为：．14.某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有______种．【答案】【解析】由题意知可分为两类：第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人，当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人，当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有种不同的安排方法；综上可知，共有（种），故答案为：15.设等差数列的前项和为，且，是等比数列，满足，则_______.【答案】【解析】设等比数列的公比为，为等比数列，为等差数列，，则的等比数列，，∴，则，∴，，，∴，.故答案为：16．如图，已知正方体的棱长为4，，，分別是棱，，的中点，平面截正方体的截面面积为________.【答案】【解析】在正方体中，延长交延长线于，连接交于，并延长交延长线于R，延长交延长线于，连接交于，交于，易知点共面，平面即为平面，所以平面截正方体的截面为六边形，因为，，分別是棱，，的中点，所以根据相似比易知点都为其所在正方体棱的中点，则易得六边形为正六边形，因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长，所以截面面积为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）设的公比为，因为，即，且，可得，解得或（舍去）．又因为，解得，所以.（2）由（1）可得：，所以，所以18．在中，，且（1）求角；（2）若点为边上一点，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，即，在中，由正弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，又因为，所以.（2）如图所示，因为，所以因为，所以，所以，所以，即，即，又因为，所以，在中，由余弦定理得，，即，代入，解得（负值舍去），所以，所以.19．如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面，是边长为2等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合）．（1）证明：；（2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）因为三角形是等边三角形，且E是中点，所以，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，又因面，所以，因为，，所以，，所以，即，因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由已知得，设，则、设平面的法向量为，则，令，有，设直线与平面所成的角，所以，当且仅当时取等号，当时，直线与平面所成角最大．20．已知函数.（1）求的单调区间；（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）【解析】（1）因为，则，令，则，即，解得的递增区间为；令，则，即，解得的递减区间为；所以的递增区间为，递减区间为.（2）因为对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，；当时，，令，所以，令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即在上恒成立所以在上单调递减，所以，所以.综上，实数的取值范围为21．某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元.（1）求的概率；（2）求的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.【答案】（1）（2），第1位【解析】（1）的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，包括两种情况：①第1位员工从从第1个盒子中摸出红球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球；②第1位员工从从第1个盒子中摸出白球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球.故的概率为：.（2）设第位员工取出红球的概率为则有,即：，且故组成首项为，公比为的等比数列.即第位员工取出白球的概率为.易知的所有可能取值为则的分布列如下：1000500显然关于单调递减，第1位员工获得奖金额的数学期望最大.22．已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为．（1）求C的方程；（2）当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）当M与原点O重合时，可设，则有、，且，即有,则，即，又，故，则，即有，由离心率为，即，则，故，即有，解得，故，即C的方程为；（2）设直线方程为，令，有，即，设点、，则，联立直线与椭圆方程：，消去有，，即，有，，为，令，故，由，故，其中，即，则，当且仅当时等号成立，故周长的最小值为.