2024年高考数学综合基础卷【赢在寒假】山东专用（二）班级_______姓名：_______考号：_______单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由分式分母不为0，0的0次幂无意义，求解即可.【详解】由题意得，解得x<1且.故选：D【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意不要将化简，属基础题.2．向量，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】在上的投影向量为.故选：D.3．平面与平面平行的充要条件是（    ）A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线都与平行【答案】D【分析】根据面面平行的判定定理逐项判断即可.【详解】对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或；对于B，与垂直于同一个平面，可得与相交或；对于C，与平行于同一条直线，可得与相交或；对于D，内有两条相交直线平行于，结合面面平行的判定定理可得，故选：D．4．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（    ）A．6.08千克 B．10.16千克 C．12.16千克 D．11.16千克【答案】C【分析】取棱台的对角面，得到为等腰梯形，过点作，根据等腰梯形的几何性质，求得棱台的高为，结合棱台体积公式，求得棱台的体积，进而求得米斗所盛大米的质量.【详解】设该正棱台为，其中上底面为，取对角面，如图所示，可得四边形为等腰梯形，因为上、下底面边长分别为，侧棱长为，且，，分别过点作，垂足分别为，可得，由等腰梯形的几何性质，可得,又因为，所以，所以，所以，所以，即棱台的高为，所以该米斗的体积为，所以该米斗所盛大米的质量为千克.故选：C.5．设函数在的图象大致如图，则的最小正周期为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，得到且，可排除A，D；再由，得到，结合B、C项，验证即可求解.【详解】由函数的图象，函数的最小正周期且，可排除A，D；又由，即，若选B，则，此时，此时不为整数，排除B项；若选C，则，此时，此时，排除C项.故选：C.6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点在上，且，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用题给条件得到的齐次式，解之即可求得的离心率.【详解】由题意可得，则，则，又，，则为等边三角形，则，即，故的离心率.故选：D7．已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圆锥的底面半径和高，进而求得该圆锥的体积.【详解】由圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，可得圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为r，则，解之得，则圆锥的高则该圆锥的体积为故选：C8．已知角的终边落在上，下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义可求得的一个值，继而整体代换求得的单调递增区间，逐项验证即可.【详解】因为角的终边落在上，可取一点，则，则与的终边相同，可令，则，令,所以，所以的单调递增区间为，只有，故A正确，B,C,D错误，故选：A.多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）9．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（    ）A．的共轭复数是 B．C．的辐角主值是 D．【答案】BCD【分析】根据复数的有关概念和运算直接得到结果.【详解】因为，所以，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD10．已知函数，则（    ）A．当时，为增函数 B．若有唯一的极值点，则C．当时，的零点为 D．最多有2个零点【答案】ACD【分析】当时，单调递增，可判定A正确；当时，得到函数只有一个极大值点，可判定B错误；当时，设的两个根据分别为且，结合函数的图象，可判定C正确；由选项C可知，当时，函数有两个零点，再由时，结合函数的图象，可判定D正确.【详解】函数，对于A中，当时，单调递增，所以A正确；对于B中，当时，，此时函数只有一个极大值点，所以B错误；对于C中，当时，设的两个根据分别为且，则，，所以，当或时，，此时函数的开口向下，且对称轴为，当时，，此时函数的开口向下，且对称轴为，如图所示，所以C正确；对于D中，由选项C可知，当时，函数有两个零点，当时，，可得至多有两个零点；当时，设方程的两个根据分别为且，则，，所以，当或时，，此时图象开口向上，对称轴为；当时，，此时图象开口向上，对称轴为，，如图所示，所以D正确.故选：ACD.11．拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一个点反射，沿直线射出，经过点，则（    ）A．B．C．延长交直线于点，则，，三点共线D．若平分，则【答案】BCD【分析】设出直线方程，联立后得出两点纵坐标关系后可判断A；由选项A求出点可得可判断B；结合题意求得，由的横坐标相同得三点共线可判断C；由平分，根据平面几何的知识可证得，可判断D.【详解】对于A，由题意点，解得，即点，抛物线焦点，所以直线的方程为，即，将其代入可得，由韦达定理可得到，故A错误；对于B，由知，因为，所以，代入可得，解得：，所以，所以，故B正确；对于C，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的横坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于D，若平分，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则，故，，则，故D正确.故选：BCD.12．已知定义域为的函数满足．数列的首项为1，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据求导法则以及可得，代入即可判定A，构造函数进而可证明，进而判断B，根据数列的单调性即可判定C、D.【详解】，．取可得，由，令，得．，，，，故A正确；设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，，即，当且仅当时，等号成立．故，故B正确．由，得，即，所以，，即，因为函数定义域为，所以，有，即，下证数列单调递减，即证，即证，即证，即证，令，则，当时，，所以在上单调递减．因为，，所以，即数列单调递减，所以，，故C错误，D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用导数的运算法则求得，从而利用导数研究的相关性质，从而得解.三、填空题（每小题5分，共计20分）13．的展开式中的系数为．（用数字作答）【答案】【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数.【详解】的通项公式为，令得，，此时，令得，，此时，故的系数为故答案为：14．已知且，则a的值为．【答案】【分析】利用换元法求得函数的解析式，根据，列出方程，即可求解.【详解】设，则，因为，所以，即，又因为，可得，解得.故答案为：.15．无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为.【答案】24【分析】从不含数字和含数字两类出发，运用排列、组合数公式计算即可；【详解】分两类：第一类不含数字，有以下几种组合和，结果为；第二类含数字，有以下几种组合、和，结果为；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是.故答案是：.16．若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则．【答案】【分析】设，其中点为C，将A，B两点代入抛物线方程，结合斜率公式与，可得，即可得，后由抛物线定义可得，即可得答案.【详解】设，其中点为C，坐标为.将A，B两点代入抛物线方程，有，两式相减可得：，设，则，因，则.又，则.又准线方程为，过A，B两点分别做准线垂线，垂足为，则由抛物线定义，可得.故.故答案为：.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.(1)求；(2)若，求的面积.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，且，所以，，所以即，所以，所以，因为，所以，所以；（2）由余弦定理可得，即，得，得，因为，所以，所以18．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和满足关系式．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，解得，，由，则当时，有，则，故，当时，有，故，即数列是以为首项，为公比的等比数列，；（2）由（1）知，故，则，则，.19．如图，在四棱锥中，平面，，四边形为直角梯形，，，，，点在线段上，且，点在线段上，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）证明：在上取一点，使，连接，．因为，，所以，且．又因为，且，所以，且．所以，四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，所以，，，．令平面的法向量，则即取，则，，即．令平面的法向量为，则即取，则，，即．所以．设平面与平面夹角为，则．所以，平面与平面夹角的余弦值为．20．以“智联世界，生成未来”主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：年龄（岁）频数2416152520持支持态度2013121510(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关；年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计持支持态度不持支持态度总计(2)以频率估计概率，若在该地区所有年龄在50岁以上（含50岁）的人中随机抽取3人，记为3人中持支持态度的人数，求的分布列以及数学期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计持支持态度254570不持支持态度201030总计4555100因为8.129＞6.635，所以有99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关．（2）依题意可知50岁以上（含50岁）的人中对人工智能持支持态度的频率为．由题意可得．X的所有可能取值为0，1，2，3．又，，，，所以的分布列如下：X0123P所以X的期望是．21．已知椭圆方程的离心率为，且过焦点垂直于轴的弦长为1，左顶点为，定点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点．(1)求椭圆方程；(2)试探究是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【详解】（1）由已知：，即，即，在中，令，解得，所以，即，，椭圆方程为：；（2）由题意设，，，即，，又，直线的方程：，令得：，同理，，为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若时，，求a的取值范围；(3)对于任意，证明：．【详解】（1）的定义域为；当时，，则；令，则；故当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．于是，即，故的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）由题意知，令，则；由（1）可知若，则当时，，若，则当时，有，符合题意；若，则当时，，于是，单调递减，则，与题意矛盾；若，则当时，，于是，单调递减，此时，与题意矛盾；综上所述：a的取值