2024年高考数学综合基础卷【赢在寒假】山东专用（五）班级_______姓名：_______考号：_______单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．设集合或，若，则的取值范围是（    ）A．或 B．或C． D．1．B【分析】先求出，根据，可求得结果.【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.故选：B.2．若，其中，则（    ）A． B． C． D．2．C【分析】通过复数的运算及复数相等，求得，计算复数的模可得结果.【详解】.故选：C.3．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（    ）A．30 B．35 C．40 D．453．B【分析】求出底层个数，加上前4层总数20即可.【详解】当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，所以当4时，每层圆球的个数分别为1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，可得，时，底层有，故一共有个球.故选：B4．保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里．府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道．府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为，当其中参数时，该函数就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数．若设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式即可.【详解】由题意，，函数定义域为R，为增函数，由，则函数为奇函数，由，即所以，解得，所以x的取值范围为.故选：A5．过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】由距离公式结合勾股定理得出，进而由面积公式得出四边形MAPB的面积最小值.【详解】圆M：的圆心到直线l：的距离，故的最小值是3，又因为，则，故的面积的最小值是，故四边形MAPB的面积的最小值是.故选：D.6．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程.【详解】因为到其焦点的距离为5，故，故，故抛物线的方程为，故.因为离心率为，故，故，根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则，则与渐近线垂直，故，故，故，故双曲线方程为：.故选：D.7．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故球心在圆锥的内部且在高上，设球心到圆锥底面的距离为，则有，解得，则圆半径，表面积.故选：C8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，函数在上单调递增，且，因为所以，所以，即，又，所以，所以，即，综上，.故选：D多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数【答案】ABD【解析】对A，，故A对；对B，，，故B对；对C，因为甲、乙平均值都为，所以，，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；对D，为整数，故甲的60百分位数，乙的60百分位数为，故D对.故选：ABD10．已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因为，所以，即A错误，B正确；易知，因为，所以，所以，即C错误，D正确.故选：BD.11．已知函数，则下列说法正确的有（    ）A．函数为偶函数 B．函数的最小值为C．函数的最大值为 D．函数在上有两个极值点【答案】AC【解析】对于A选项，函数定义域为，，所以函数为偶函数，故正确；对于B选项，，所以，当时，函数有最小值，故错误；对于C选项，由于，故当时，函数有最大值，故正确；对于D选项，当，，令得或，令在上的两个实数根为，则，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，在处取得极大值，在和处取得极小值，所以，函数在上有三个极值点，故错误.故选：AC12．已知四棱柱的底面为正方形，，，则（    ）A．点在平面内的射影在上B．平面C．与平面的交点是的重心D．二面角的大小为【答案】ACD【解析】设，，，正方形的边长为1，则，，，对选项A：，，根据对称性知，点在平面内的射影在的角平分线上，即在上，正确；对选项B：，，，错误；对选项C：设，相交于，与交于点，即为与平面的交点，则，为中边上的中线，故为的重心，正确；对选项D：连接与相交于，连接，根据对称性知，又，平面，平面，故为二面角的平面角，，故，故，，，故，正确故选：ACD.填空题（每小题5分，共计20分）13．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加A、B、C三个志愿点的活动.每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去A活动点，则不同的安排方法有种.（用数字作答）13．40【分析】以高三学生是否单独去志援点分为两类，每一类中先安排高三学生，再安排高一、高二学生，由乘法原理算出两类安排方法，相加即可.【详解】若高三学生单独去志愿点，则有种，若高三学生与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，有32种，则共有种安排方法.故答案为：40.14．如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为．14．8【分析】设，，由，，，共线可得，再利用乘“1”法求解最值.【详解】设，，，，，共线，，．，则，点，是线段上两个动点，，．则的最小值为．故答案为：．15．在平面直角坐标系中，已知点，直线：与圆：交于A，B两点，若为正三角形，则实数的值是.【答案】【解析】由题意可知在圆上，如图，设AB中点为H，连接PH,则PH过点O,且,设直线l的斜率为k,则,故即为，因为为正三角形，则O点为的中心，则，故，解得，结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知，即.16．设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为【答案】【解析】如图，  设为中点，，由可知，，由双曲线的定义可知，，由可知，又为中点，为中点，可知，则,从而为线段的垂直平分线，，即，所以，则为正三角形，，在直角△中，，即，所以．四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．（本小题满分10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．(1)求角A的大小；(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．【详解】（1）若选择①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若选择②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若选择③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）设，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，将②式代入上式可得，．18．（本小题满分12分）已知数列，当时，，.记数列的前项和为.(1)求，；(2)求使得成立的正整数的最大值.【详解】（1）因当时，，，而，则，又，则，所以，.（2）因当时，，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，而，又，则有时，，由得：，而，于是得，所以使得成立的正整数的最大值是51.19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.(1)证明：平面平面；(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.【详解】（1）(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，所以AE平面BCD，又因为CD平面BCD，所以CDAE，因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.（2）在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,设BC=4，则，DF=FC=l，.以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,则,设，则,，设平面AEG的法向量为,由，得，令，故，设平面ACD的法向量为，则,即，令，则,设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,则，当最大，此时锐二面角最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.20．（本小题满分12分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xiyi|0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；(2)规定：数组（xi，yi）满足|xiyi|<0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤|xiyi|<0.3为“Ⅱ类误差”；满足|xiyi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．附：相关系数【详解】（1）因为，…代入已知数据，得．所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数的所有可能取值为.       则，，，.              所以的概率分布为0123P所以X的数学期望.     另解：因为，所以.21．（本小题满分12分）已知曲线由和两部分组成，所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，右焦点为与轴相交于点，四边形的面积为.(1)求的值；(2)若直线与相交于两点，，点在上，求面积的最大值.【详解】（1）由题意知；（2）①当斜率存在时，设直线的方程为，，，且，，计算可得，故原点到直线的距离，当时，即或时取等号，故原点到直线的距离的最大值为1，则点P到直线的距离，故，∴△PAB面积最大值2；②当斜率不存在时，，此时.综上：面积的最大值为2.22．（本小题满分12分）已知函数，函数，其中.(1)判断函数在上的单调性，并说明理由；(2)证明：曲线与曲线有