2024年高考数学综合基础卷【赢在寒假】新高考全国通用（一）班级_______姓名：_______考号：_______第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，进而求得.【详解】，解得，所以，所以.故选：C2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后根据复数运算求得正确答案.【详解】依题意，所以.故选：A3．已知，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再求出夹角即得.【详解】由，得，而，则，于是，则，而，所以与的夹角为.故选：A4．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（    ）天．（结果保留一位小数．参考数据：）A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19【答案】A【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得，进而利用对数的运算法则列式即可得解.【详解】因为，，，所以，解得，设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍的时间为，则（天．故选：A.5．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（    ）A．63 B．72 C．135 D．144【答案】C【分析】设出公差，表达出，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求和公式得到答案.【详解】设等差数列的公差为，则，则．由，得，解得．又因为，所以，所以．故选：C．6．函数的部分图象可能是(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定函数奇偶性，再确定的时候的值.【详解】因为，所以为奇函数，排除AB；又时，所以排除D,故选：C7．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.【详解】根据题意可得，且，所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，  设长方体的外接球的半径为，可得，所以，所以外接球的表面积为，故选：C8．过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点为坐标原点，若，又直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知中，，因为，由正弦定理可知，即，所以，得．又因为直线与双曲线无公共点，则，即，结合，所以，所以．综上：，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．2023年11月15日国家统计局网公布的规模以上工业增加同比增长速度数据如图（其中2023年1月与2月合为一个数据），则（   ）  A．12个数据的中位数为B．12个数据的极差为C．2022年10月到2023年5月的增长速度方差比2023年6月到2023年10月的方差大D．从小于的数据中任取两个数，其和大于的概率为【答案】AC【分析】根据中位数，极差，方差的概念及概率的计算即得.【详解】对于项：12个数据从小到大排列为1.3，2.2，2.4，3.5，3.7，3.9，4.4，4.5，4.5，4.6，5.0，5.6，所以中位数为，所以正确；对于项：极差为，所以错误；对于项：因为2022年10月到2023年5月的增长速度的波动比2023年6月到2023年10月的数据波动大，所以方差更大，所以C正确；对于D项：因为小于4的数据有共6个，从中任取两个数的所有情况共有共15种，而两数之和大于5的有共10种，所以，所以D错误.故选：．10．已知正方体的棱长为2，E为中点，F为中点，下面说法正确的是（    ）A．异面直线与EF所成角的正切值为B．三棱锥的体积为C．平面截正方体截得的多边形是菱形D．点B到直线EF的距离为【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，求出对应的线段长，即可得出选项.【详解】由题意，在正方体中，棱长为2，E为中点，F为中点，建立空间直角坐标系如下图所示，  ∴，，A项，∴，设和夹角为，∵，，∴异面直线与EF所成角的正切值为：，A正确；B项，  由图及几何知识得，，故B错误；C项，补全平面截正方体截得的多边形如下图所示，  由几何知识得，在四边形中，，所以四边形是菱形，故C正确；D项，连接如下图所示，  设点B到直线EF的距离为，和夹角为，由几何知识得，，，，，∴，故D正确.故选：ACD.11．已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,若的最小值为4,则（）A．椭圆的短轴长为B．最大值为8C．离心率为D．椭圆上不存在点,使得【答案】BCD【分析】根据椭圆的焦点弦中通径最短,可得椭圆方程,结合椭圆的性质即可判断项；根据焦点三角形的周长和的最小值为4,可判断项；根据椭圆中当动点与短轴顶点重合时,最大,结合余弦定理即可判断项.【详解】易知当轴时,即线段为通径时,最短,解得椭圆方程为椭圆的短轴长为故错误;因为△的周长为且故正确；离心率故正确；易知当点位于短轴顶点时,最大,此时又为三角形内角,椭圆上不存在点,使得,故正确.故选：.12．已知，下列说法正确的是（    ）A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为C．的极大值为 D．方程有两个不同的解【答案】BC【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，，所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，故选：BC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某次女排比赛的其中一场半决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制．甲队中有一名主力队员，在其上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，在其不上场比赛的情况下，甲队每局取胜的概率为，甲队从全队战术、队员体力等各方面综合考量，决定该主力队员每局比赛上场的概率为．已知甲队已经取得了第一局比赛的胜利，则最终甲队以3：0战胜乙队的概率为．【答案】/0.36【分析】根据全概率公式即可求解.【详解】记事件“每局比赛甲队战胜乙队”，“甲队的主力队员上场比赛”，“甲队第一局获胜的条件下，甲队以3：0战胜乙队”．由已知得，，，所以，于是．故答案为：14．如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为，该曲线的渐近线方程为．若，直线与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】联立与，解得，利用两直线的位置关系求出从点A向渐近线作垂线的垂足B，进而求出圆的圆心坐标和半径，即可求解.【详解】联立与，得，解得或．结合题意可得．渐近线的方程为．从点A向此渐近线作垂线，垂足为B，设，则，解得，即，所以，AB的中点坐标为，所以以AB为直径的圆与渐近线相切的圆的方程为．故答案为：．15．已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，是关于x的方程在内的两根，则的值为.【答案】－/【分析】根据三角恒等变换整理的解析式，再结合图象变换求的解析式，最后根据正弦函数的对称性运算求解.【详解】其中，因为把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，当时，，因为，是关于x的方程在内的两根，所以有，因此，故答案为：16．如图，圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，若圆台的外接球（上下底面圆在同一球面上）的表面积为且其球心在线段上．则圆台的体积为．  【答案】【分析】设圆台的高为，球心到圆台上底面的距离为，球的半径为，根据题意，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程组，求得，利用圆台的体积公式，即可求解.【详解】设圆台的高为，球心到圆台上底面的距离为，球的半径为，因为球的表面积为，所以，解得，又因为球的球心在圆台的轴上，可得，解得，所以圆台的体积为.故答案为：．    四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求边上的高.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又因为，则，所以，整理得到，即，因为，所以，所以，所以.（2）由余弦定理，且，则有，又，解得或（舍去），所以边上的高.18．已知为数列的前项和，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【详解】（1）∵，∴当时，，两式相减得，即()，当时，，符合上式，∴的通项公式为()．（2）∵，∴，∴．19．甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．(1)若乙得6分的概率，求；(2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？【详解】（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中，其概率为，又，故，解得；（2）设为甲累计获得的分数，则，所以，设为乙累计获得的分数，则的可能取值为0，2，4，6，8，10，，，，，，，所以的分布列为：0所以，因为，所以甲获胜的可能性大20．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点.(1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置.【详解】（1）如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则于是，,设平面的法向量为，则故可取.设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值是.（2）如图，设，，则，因，故，解得：，则,设平面的法向量为，则故可取.又,设平面的法向量为，则故可取.设平面与平面的夹角为，则，解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.21．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以椭圆的标准方程为．（2）设，，由，得．则，．因为线段中点的横坐标为，所以．解得，即，经检验符合题意．所以直线l的方程为．22．已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【详解】（1）函数的导数，当时，；当时，.所以的单调递减区间为.（2）由（1）得：当时，取得极大值；当时，取得极小值.由三次函数性质知：当时，；当时，.所以若有三个零点，则，解得.所以的取值范围为.