2024年高考数学综合提升卷【赢在寒假】天津专用（二）班级_______姓名：_______考号：_______单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设，命题，命题，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式求出命题，命题，根据必要不充分条件定义判断可得答案.【详解】由解得，由解得，因为，所以p是q的必要不充分条件.故选：B.2．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的定义域求出，根据二次函数的性质求出，再根据集合的运算法则计算可得.【详解】因为，，所以，则.故选：A3．设、，若（为虚数单位）是一元二次方程的一个虚根，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】分析可知实系数一元二次方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.【详解】因为是实系数一元二次方程的一个虚根，则该方程的另一个虚根为，由韦达定理可得，所以.故选：C.4．函数在上的大致图象为（    ）A． B．  C．   D．  【答案】C【分析】利用函数的奇偶性，计算特殊点的函数值，排除法得正确选项.【详解】函数，，，所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，A选项错误；，，BD选项错误；故选：C5．某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（    ）  A．的值为0.005B．估计这组数据的众数为75C．估计这组数据的第85百分位数为86D．估计成绩低于60分的有25人【答案】D【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.【详解】易知，所以A正确；由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即，所以B正确；由频率分布直方图可知前四组频率之和为，前五组频率之和为，故第85百分位数落在区间，设第85百分位数为，则，所以C正确；成绩低于60分的频率为，所以估计总体有，故D错误.故选：D6．若，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】，，因为，所以，即，而，所以.故选：B.7．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圆锥的底面圆周长求出底面半径，结合圆锥，圆柱的体积公式即可求解．【详解】圆锥的底面圆周长为，所以底面半径为，设圆柱的体积为，圆锥体积为，，故选：D．8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得双曲线的右焦点为，得到，再由抛物线的准线方程为，求得，将代入渐近线方程，得到，进而求得的值，即可求解.【详解】由抛物线的焦点为，因为双曲线与抛物线的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，可得，又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得，即交点为，代入渐近线方程，可得，可得，将代入，可得，所以，所以双曲线的方程为.故选：D.9．函数的图象中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数在区间上的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件求出函数表达式，再根据定义域求值域.【详解】由最高点和最低点的纵坐标有，所以，周期，所以，于是，由和得，所以时，，于是，.故选：B.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。10．在的展开式中，常数项为．（结果用数字表示）【答案】【分析】写出展开式的通项，即可求出常数项.【详解】二项式展开式的通项为：（其中且），令，解得，所以，即展开式的常数项为.故答案为：11．已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为.【答案】【分析】由题意得A，B两点的坐标，进一步得以线段AB为直径的圆的方程，令，即可求解.【详解】由题意过点且垂直于x轴的直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，得，解得，不妨设，则以线段AB为直径的圆即以点为圆心半径为的圆，它的方程为，设以线段AB为直径的圆和y轴的交点为，在中令，得，所以以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为.故答案为：.12．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球，A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是，同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球，如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，则B同学摸到红球的概率为．【答案】/0.7【分析】先求出全是红球的概率，进而由对立事件概率公式求出3个球颜色不全相同的概率；再分别求出同学在甲箱子和乙箱子中随机摸出1个球为红球的概率，相加后得到答案.【详解】A同学从乙箱子中随机摸出3个球，全是红球的概率为，故3个球颜色不全相同的概率为，同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球为红球的概率为，如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球为红球的概率为，则B同学摸到红球的概率为.故答案为：；.13．已知实数，且，则的最小值是.【答案】16【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】因为，且，故，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是16.故答案为：1614．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】先得到时，有个零点.当时，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】函数，当时，方程，解得，函数有一个零点，则当时，函数须有两个零点，即，在时有两个解.设，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，∴，且，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：15．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为，若，的面积为，则的最小值为.【答案】6【分析】由图形特征，利用向量的线性运算，用，表示；根据的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值.【详解】如图所示，中，，是边的中点，是线段的中点，则，，即；由的面积为，得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6.故答案为：；6三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，(1)求；(2)求，的值；(3)求的值．【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，所以，因为，所以，所以，又，解得或（舍去）.（2）由（1）知，因为，所以，所以，即①，由余弦定理知，所以，即②，又，所以由①②解得，．（3）由余弦定理，即，解得，因为，所以，所以．17．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，即，所以，即异面直线与所成角的余弦值为；  （2）由上易知，设面的一个法向量为，则有，取，即，所以点到平面的距离为；（3）由上可知，设面的一个法向量为，则有，取，即，设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值.18．已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，.(1)求和的通项公式；(2)设的前项和为，，.求证：.【详解】（1）①，②，③，②①可得，因为，所以，设的公差为，则，即，代入③可得，解得，所以；由①②可得，，等比数列的公比为，所以.（2），，当为奇数时，，．由，有，即．19．设椭圆的离心率，过点.(1)求椭圆的方程；(2)求椭圆被直线截得的弦长.(3)直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点）【详解】（1）由题意可知，解得，椭圆的方程为．（2）设椭圆与直线的交点为，，，，联立方程，消去得，，，因此（3）设，，联立方程，消去得，所以，，，得由，即，，均符合，故20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间、最值．(3)设在上有两个零点，求的范围.【详解】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减.所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为.所以，又，，所以.（3）在上有两个零点，即有两个不等根，由（2）知.