2024九省联合高考适应性考试——名师教研团队变式卷（2）数学参考答案一、选择题题号12345678答案ADCBBADC二、选择题题号91011答案BDBCDAD三、填空题题号121314答案-3511512四、解答题15.（1）记事件A为“男生闯过四关”，则PA=56×45×34×23=13故甲闯过四关的概率为13.（2）记事件B为“女生闯过四关”，则PB=45×34×23×12=15PX=0=1-132×1-152=64225PX=1=C21×13×1-13×1-152+C21×15×1-15×1-132=96225PX=2=C22×132×1-152+C22×152×1-132+C21×13×1-13×C22×15×1-15=52225PX=3=C21×13×1-13×152+C21×15×1-15×132=12225PX=4=132×152=1225所以X的分布列为X01234P642259622552225122251225EX=0×64225+1×96225+2×52225+3×12225+4×1225=1615故EX的值为1615．16.（1）由题意Sn=nan+1-n2-n，Sn+an+1=Sn+1=n+1an+1-n2-n=n+1an+1-n=n+1an+2-n+12-n+1=n+1an+2-n-2所以an+1-n=an+2-n-2，即an+2=an+1+2，所以an是以2为公差的等差数列．（2）由（1）及题意得等差数列an的前n项和Sn=n2a1+an=n223+2n=nn+131Sn=1nn+13=3n3n+11S1+1S2+…+1Sn=311×4+12×7+…+1n×3n+1即证33×4+36×7+…+33n×3n+1<920易知3n-13n+2<3n3n+1则33n3n+1<33n-13n+233×4+36×7+…+33n×3n+1<14+35×8+…+33n-1×3n+2=14+15-18+18-111+…+13n-1-13n+2<14+15=920原题得证，证毕．17.（1）由题意fx=x3+ax2+bx+a2x∈R，f'x=3x2+2ax+b，因为fx在x=1处取得极值10，即f1=1+a+b+a2=10f'1=3+2a+b=0解得a=-3b=3或a=4b=-11．①当a=-3b=3时，fx=x3-3x2+3x+9，f'x=3x2-6x+3=3x-12≥0，所以fx在-∞,-1∪1,+∞上单调递增．②当a=4b=-11时，fx=x3+4x2-11x+16，f'x=3x2+8x-11=x-13x-11，令f'x=0得x=1或x=113．当x<1时，f'x>0，fx单调递增；当1113时，f'x>0，fx单调递增．（2）a+2b的最小值为3，解答如下：由题意，x1,x2,x3是方程x3+ax2+bx-c=0的三个实数根，由韦达定理得x1+x2+x3=-ax1x2+x2x3+x3x1=b由条件知x2-x1≥1，x3-x2≥1，x3-x1≥2，所以a2-3b=x12+x22+x32-x1x2-x2x3-x3x1=12x1-x22+x2-x32+x3-x12≥121+1+4=3即b≤a23-1．当a≥3时，a+2b≥a≥3，当0≤a<3时，b≤a23-1<0所以a+2b≥a-2a23-1=-23a-342+198>-233-342+198=3故总有a+2b≥3．当等号成立时，取x1=-1-33,x2=-33,x3=1-33验证即有a+2b=3．18.（1）由题意，椭圆E的上顶点为0,1，半焦距c=3，设E:x2a2+y2b2=1a>b>0，则b=1c=a2-b2=3解得a=2b=1，所以E:x24+y2=1．设点Px,y是l1上任意异于A0,1的一点，点P0x0,y0是P关于直线y=x+1的对称点，所以由y+y02=x+x02+1得y-x=x0-y0+2①由y-y0x-x0=-1得y+x=x0+y0②联立①、②，解得x=y0-1y=x0+1代入直线l1得x0=k1y0-1．又由点P0x0,y0，在直线l2上可得y0=k2x0+1，故y0-1=k2x0．所以x0=k1k2x0，由x0≠1得k1k2=1．故k1k2的值为1．（2）设Px1,y1，Qx2,y2．联立直线l1与椭圆E：y1=k1x1+1x24+y2=1得4k1+1x12+8k1x1=0，所以x1=-8k14k12+1,y1=1-4k124k12+1同理，x2=-8k24k22+1,y2=1-4k224k22+1又由（1）：k1k2=1，所以x2,y2也可表示为x2=-8k1k12+4,y2=k12-4k12+4所以直线PQ的方程为y-1-4k124k12+1=-k12+13k12x--8k14k12+1化简得y=-k12+13k12x-53所以对任意的k1，总会过点0,-53．故直线PQ过定点0,-53．19.（1）以正方形ABCD的中心为原点，DA、DC、DH的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意，A-1,-1,0，E-1,-1,2，P10,-1,0，P21,1,1，P30,1,2，则AE=0,0,2，P1P2=1,2,1，P2P3=-1,0,1，设平面P1P2P3的一个法向量n=x,y,z，则有x+2y+z=0-x+z=0令x=1，则y=-1，z=1，所以n=1,-1,1，所以cos=n·AEn·AE=22×3=33所以棱AE和平面P1P2P3所成角的余弦值为33．（2）由条件，可设P11,cosα1,sinα2，P2sinα2,1,cosα2，P3sinα3,cosα3,1，记d1=P1P2，d2=P2P3，d3=P3P1，则（i=1,2,3）di2=1-sinαi+12+1-cosαi2+sinαi-cosαi+12①记f=d1+d2+d3，先求f的最小值：由①及均值不等式，di≥1-sinαi+12+1-cosαi2≥122-sinαi+1-cosαi所以f≥22i=132-sinαi+1-cosαi=32-22i=13sinαi+1+cosαi=32-22i=13sinαi+cosαi=32-22i=13sinαi+π4≥32-3所以当α1=α2=α3=π4时，f可取到最小值32-3．再求f的最大值：由①知di2=4-2cosαi-2sinαi+1-2sinαicosαi+1所以i=13di2=12-2i=13cosαi+i=13sinαi+1+i=13sinαicosαi+1=12-2i=13cosαi+1+i=13sinαi+i=13sinαicosαi+1=18-2i=131+sinαi1+cosαi+1≤18由柯西不等式，f2≤3i=13di2≤54即f≤36，故当α1=α2=α3=π时，f可取到最大值36．综上所述，P1P2+P2P3+P3P1的最小值为32-3，最大值为36．