2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案CABACDBD二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案ACACDCD【附】评分表9-11题（每题满分6分）得分情况正确选项个数2个（如AC）选对1个（选A或C）3分选对2个（选AC）6分3个（如ACD）选对1个（选A或C或D）2分选对2个（选AC或CD或AD）4分选对3个（选ACD）6分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案12-2或-1245,5四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）以点D1为坐标原点，D1A1为x轴正方向，D1C1为y轴方向，D1D为z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．（1）连接EF，由三角形的中位线得EF//B1D1，且EF=12B1D1，由B1D1//BD，所以EF//BD，△EFQ~△DBQ，EQDQ=EFBD=12，知E12,1,0，D0,0,1，所以DE=12,1,-1，DQ=23DE=13,23,-23，所以Q13,23,13，三棱锥Q-ABC的高（以平面ABC为底面）为点Q到平面ABC的距离，即1-13=23，所以VQ-ABC=13·h·S△ABC=13×23×12=19故三棱锥Q-ABC的体积是19．（2）由（1）Q13,23,13，又A1,0,1，所以AQ=-23,23,-23，由C0,1,1，E12,1,0，F0,12,0，得CE=12,0,-1，CF=0,-12,-1，设平面CEF的一个法向量n1=x,y,z，则n1·CE=n1·CF=0，即12x-y=0-12y-z=0令x=4，则y1=2z1=-1，所以n1=4,2,-1是平面CEF的一个法向量．cos=n1·AQn1·AQ=-221·43=-77故直线AQ与平面CEF夹角的余弦值为-77．16.（15分）（1）证明：由已知Sn+1=3Sn+2n+5n∈N*，当n≥2时，Sn=3Sn-1+2n+3，两式相减得Sn+1-Sn=3Sn-Sn-1+2，即an+1=3an+2，则an+1+1=3an+1n≥2，当n=1时，S2=3S1+7，所以a2+a1=3a1+7，因为a1=5，所以a2=17，从而a2+1=3a1+1，所以an+1+1=3an+1，又因为a1=5，可得a1+1=6，所以an+1+1an+1=3，所以数列an+1是以6为首项，3为公比的等比数列．（2）解：由（1）得an+1=6×3n-1，所以an=2×3n-1，因为fx=a1x+a2x2+⋯+anxn，所以f'x=a1+2a2x+⋯+nanxn-1，则f'1=a1+2a2+⋯+nan，记bn=nan=2n×3n-n，可得f'1=b1+b2+⋯+bn，记Tn=2×31+4×32+…+2n×3n，则3Tn=2×32+4×33+…+2n×3n+1，两式相减得：-2Tn=2×31+2×32+2×33+⋯+2×3n-2n×3n+1=61-3n1-3-2n×3n+1=1-2n×3n+1-3所以Tn=2n-1×3n+1+32，又因为1+2+⋯+n=nn+12，所以f'1=2n-1×3n+1+32-nn+12．17.（15分）（1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当X=2时，甲以4:1赢，所以PX=2=232=49，当X=3时，甲以4:2赢，所以PX=3=C21×23×1-23×23=827，当X=4时，甲以4:3赢，所以PX=4=C31×23×1-232×23=427，于是得甲赢得全部赌注的概率为49+827+427=2427=89，所以，甲应分得的赌注为243×89=216元．（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当Y=3时，乙以4:2赢，PY=3=1-p3，当Y=4时，乙以4:3赢，PY=4=C31p1-p3=3p1-p3，从而得乙赢得全部赌注的概率为PA=1-p3+3p1-p3=1+3p1-p3，于是甲赢得全部赌注的概率fp=1-PA=1-1+3p1-p3，f'p=-3(1-p)3-(1+3p)⋅3(1-p)2(-1)=12p(1-p)2，因45≤p<1，即f'p>0，从而有fp在45,1上单调递增，于是得fpmin=f45=608625，乙赢的概率PA最大值为1-608625=17625=0.0272，所以事件A发生的概率的最大值为0.0272．18.（17分）P308（1）易知ω的焦点为1,0，所以c=a2-b2=1，又由题意，a=2，所以b=3，故椭圆Ω的标准方程为x24+y23=1．（2）设Pt2,2t，显然切线l的斜率存在，设切线l的方程为y-2t=kx-t2，联立y-2t=kx-t2y2=4x得关于y的方程ky2-4y-4kt2+8t=0，则Δ=16-16k-4kt2+8t=0，得k=1t，从而切线方程l:x=ty-t2，联立x=ty-t2x24+y23=1得关于y的方程3t2+4y2-6t3y+3t4-12=0，由韦达定理y1+y2=6t33t2+4y1y2=3t4-123t2+4所以MN=1+t2y1-y2=1+t2y1+y22-4y1y2=1+t26t33t2+42-43t4-123t2+4=431+t2-t4+3t2+43t2+42因为原点到切线l的距离d=t21+t2所以S△OMN=23t4-t4+3t2+43t2+42令3t2+4=u，因为00所以f'x单调递增．当-10时，f'x>f0=0，fx单调递增．所以在x=0处fx取得极小值f0=0，即fx≥0恒成立，1+xn≥nx+1．伯努利不等式对n≥1得证．（3）当n=1时，原不等式即1+a1≥1+a1，显然成立．当n≥2时，构造数列xn：xn=1+a11+a2…1+an-1+a1+a2+…+an，则xn+1-xn=an+11+a11+a2…1+an-1．若ai>0i=1,2,…,n+1，由上式易得xn+1-xn>0，即xn+1>xn；若-10即此时xn+1>xn也成立．所以xn是一个单调递增的数列（n≥2），由于x2=1+a11+a2-1+a1+a2=a1a2>0，所以xn>x2>0∀n>2，故原不等式成立．