2024年新高考改革适应性练习（4）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.8）考生须知1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为푎，中位数为푏，第75分位数为푐，则A．푎<푏<푐B．푏<푎<푐C．푏<푎=푐D．푎=푐<푏22.已知两条直线푙1和푙2，其斜率分别是一元二次方程푘+2024푘=1的两不等实数根，则其位置关系是A．平行B．垂直C．重合D．异面3.已知复数푧1和푧2满足|푧1|=|푧2|=2，푧1+푧2=√3+i，则|푧1푧2|=A．1B．2C．4D．84.在三棱锥푉−퐴퐵퐶中，若顶点푉到底面三边距离相等，则顶点푉在平面퐴퐵퐶上的射影为△퐴퐵퐶的A．内心B．外心C．垂心D．重心5.已知푎,푏∈푅，푎푏<0，函数푓(푥)=푎푥2+푏(푥∈푅)．若푓(푠−푡)，푓(푠)，푓(푠+푡)依次成等比数列，则平面푂푥푦上的点(푠,푡)的轨迹是A．直线和焦点在푥轴的双曲线B．直线和焦点在푥轴的椭圆C．直线和焦点在푦轴的双曲线D．直线和焦点在푦轴的椭圆휋6.若sin是函数푓(푥)=푎푥3−푏푥+1(푎,푏∈푁∗)的一个零点，则푓(1)=10A．2B．3C．4D．5数学试题卷第1页（共4页）{#{QQABDQCUogCoABIAAAhCUwHYCgIQkAACCCoGhBAMoAIAiRNABAA=}#}7.已知푂为坐标原点，点퐴(2,0)，设动点퐶满足|푂퐶|≤2，动点푃满足푃퐴⃗⃗⃗⃗⃗·푃⃗⃗⃗⃗퐶⃗=0，则|푂푃|的最大值是A．√3+1B．2√2C．2D．√28.已知△퐴퐵퐶的三个顶点的横纵坐标均在集合{1,2,3,4}内，则这样的三角形共有A．64个B．125个C．432个D．516个二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.以下函数푓(푥)满足对任意其定义域上的푥,푦，都有(푥−푦)[푓(푥)−푓(푦)]≥0的有A．푓(푥)=푥B．푓(푥)=sin푥C．푓(푥)=푥|푥|D．푓(푥)=푥sin푥10.已知抛物线훤的焦点为퐹，点푃在其准线上运动，过푃作훤的两条切线与훤相切于퐴,퐵两点，则以下说法正确的有A．퐴,퐵,퐹三点共线B．△퐴퐵푃可能是直角三角形C．|퐴퐹|,|푃퐹|,|퐵퐹|构成等比数列D．△퐴푃퐹一定不是等腰三角形11.若三角形的面积为有理数，三条边的长度都是整数，则其一条边的长度可以是A．1B．2C．3D．4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.数学中有很多公式都是数学家欧拉发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中．任意一个凸多面体的顶点数푉、棱数퐸、面数퐹之间，都满足关系式푉−퐸+퐹=2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”．若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数是_________．213.已知数列{푎푛}的前푛项和푆푛=푛+푘푛+푘(푘∈푍)，且{푎푛}恰好有一项是负项，则푘的值是_________．14.已知椭圆퐸的一个焦点为(√7,0)，且过点(4,0)，过原点푂作两条互相垂直的射线交椭圆于퐴、퐵两点，则弦长|퐴퐵|的取值范围为_________．数学试题卷第2页（共4页）{#{QQABDQCUogCoABIAAAhCUwHYCgIQkAACCCoGhBAMoAIAiRNABAA=}#}四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）如右图，已知正方体퐴퐵퐶퐷−퐴1퐵1퐶1퐷1的棱长为1，点퐸,퐹分别为퐵1퐶1,퐶1퐷1的中点，点푄为퐵퐹与퐷퐸的交点．（1）求三棱锥푄−퐴퐵퐶的体积；（2）求直线퐴푄与平面퐶퐸퐹夹角的余弦值．16.（15分）∗已知数列{푎푛}的首项푎1=5，前푛项和为푆푛，且푆푛+1=3푆푛+2푛+5(푛∈푁)．（1）证明：数列{푎푛+1}是等比数列；2푛′（2）令푓(푥)=푎1푥+푎2푥+⋯+푎푛푥，求函数푓(푥)在푥=1处的导数푓(1).17.（15分）公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢푘(푘≥1,푘∈푁∗)局，谁便赢得全部赌注푎元．每局甲赢的概率为푝(0<푝<1)，乙赢的概率为1−푝，且每局赌博相互独立．在甲赢了푚(푚<푘)局，乙赢了푛(푛<푘)局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢푘局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比푃甲:푃乙分配赌注．2（1）甲、乙赌博意外终止，若푎=243，푘=4，푚=2，푛=1，푝=，求甲应3分得的赌注；（2）记事件퐴为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当푘=4，푚=2，4푛=1时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率푓(푝)；当푝≥时，求事件퐴发生的5概率的最大值．数学试题卷第3页（共4页）{#{QQABDQCUogCoABIAAAhCUwHYCgIQkAACCCoGhBAMoAIAiRNABAA=}#}18.（17分）已知以原点푂为中心的椭圆훺过点(2,0)，且与抛物线휔:푦2=4푥有相同的焦点．（1）求훺的标准方程；（2）点푃在휔上，휔过点푃的切线푙交훺于푀,푁两点，求△푂푀푁面积的最大值．19.（17分）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数푥∈(−1,+∞)，在푛∈[1,+∞)时，有不等式(1+푥)푛≥1+푛푥成立；在푛∈(0,1)时，有不等式(1+푥)푛≤1+푛푥成立．（1）猜想伯努利不等式等号成立的条件；（2）当푛≥1时，对伯努利不等式进行证明；∗（3）考虑对多个变量的不等式问题．已知푎1,푎2,…,푎푛(푛∈푁)是大于-1的实数（全部同号），证明：(1+푎1)(1+푎2)…(1+푎푛)≥1+푎1+푎2+⋯+푎푛数学试题卷第4页（共4页）{#{QQABDQCUogCoABIAAAhCUwHYCgIQkAACCCoGhBAMoAIAiRNABAA=}#}