2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.6）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设样本空间Ω=1,2,…,6包含等可能的样本点，且A=1,2,3,4，B=3,4,5,6，则PAB=A．13 B．14 C．15 D．162. 若复数z满足z2是纯虚数，则z-2的最小值是A．1 B．2 C．2 D．223. 算术基本定理告诉我们，任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为22×31×51，45可被分解为32×51．任何整除N的正整数d都叫作N的正因数．如，20的正因数有1，2，4，5，10，20．则4200的正因数个数是A．4 B．7 C．42 D．484. 已知点a,b在直线2x+y-1=0第一象限的图像上，则1a+1b的最小值是A．3+22 B．2+22C．1+22 D．225. 已知函数fx=sinx，gx=cosx，则fgx和gfx都单调递增的一个区间是A．2π5,4π5 B．4π5,6π5 C．6π5,8π5 D．8π5,2π6. 已知直线l过点2,1，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则满足条件的直线l共有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条7. 我们记fnx为函数fx的n次迭代，即f1x=fx，f2x=ffx，…，fn=ffn-1x．已知函数gx=xx，则g2024x=A．x3x2021 B．x4x2020 C．x2x2022 D．x20248. 若一四面体恰有一条长度大于1的棱，则这个四面体体积的最大值是A．33 B．12 C．13 D．22二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 已知函数fx=x3-2x，下列说法正确的是A．函数gx=fx+f'x无零点B．直线2x+y=0与y=fx相切C．存在无数个a>0，fx在区间-a,a上不单调D．存在m>0，使得对于任意n，fn≤fn+m10. 若一个人一次仅能爬1级或2级台阶，记an为爬n级台阶时不同的爬法数n∈N*．关于数列an，下列说法正确的是A．函数fn=an单调递增 B．a1+a3+a5的值为12C．a1+a2+…+a10=232 D．2a12+a22+…+a102=89×14411. 如右图，已知抛物线C的焦点为F，准线方程为l:x=-1，点P是C上的一动点．过点P作l的垂线，垂足为Q．过点P作C的切线，该切线与x,y轴分别交于A,B两个不同的点．下列说法正确的是A．抛物线C的标准方程为y2=2xB．Q,B,F三点共线当且仅当PF=4C．当PF≠1时，都有PA⊥QFD．当PF≠1时，△PAF恒为等腰三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥C-AB1D1的体积是_________．13. 从集合x-4≤x≤2024中任选2个不同的非零整数作为二次函数fx=ax2+bx的系数，则所有满足fx的顶点在第一象限或第三象限的有序数对a,b共有_________组．14. 已知向量a,b,c满足a+b+c=0，a-b⊥a-c，b-c=3，则a+b+c的最大值是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）证明：AD1⊥A1C；（2）求二面角B-A1C-D．16.（15分）已知定义在R上的函数fx=ax4+bx3+cx2+dxa≠0．（1）若原点是fx的一个极值点，证明：fx的所有零点也是其所有极值点；（2）若fx的4个零点成公差为2的等差数列，求f'x的最大零点与最小零点之差．17.（15分）设点S1,1在椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0内，直线l:b2x2+a2y2-a2b2=0．（1）求l与C的交点个数；（2）设P为l上的动点，直线PS与C相交于M,N两点．给出下列命题：①存在点P，使得1PM,1PS,1PN成等差数列；②存在点P，使得PM,PS,PN成等差数列；③存在点P，使得PM,PS,PN成等比数列；请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分．）18.（17分）2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题来做．假设两人选对一个单选题的概率都是14，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．（1）记小周选择题最终得分为X，求EX．（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p0p0≥13，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高．19.（17分）信息论之父香农（Shannon）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量X所有取值为1,2,…,n，且Px=i=Pi>0（i=1,2,…,n），P1+P2+…+Pn=1，定义X的信息熵HX=-i=1nPilog2Pi（1）当n=1时，求HX的值；（2）当n=2时，若P1∈0,12，探究HX与P1的关系，并说明理由；（3）若P1=P2=12n-1，Pk+1=2Pkk=2,3,⋯,n，求此时的信息熵HX．