专题19基本不等式小题解题秘籍基本不等式，当且仅当时取等号其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数通常表达为：（积定和最小）应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论1（和定积最大）当且仅当时取等号基本不等式的推论2当且仅当时取等号其他结论①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．模拟训练一、单选题1．（22·23下·湖北·二模）若正数满足，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．2．（22·23·邯郸·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）A．2 B．4 C． D．93．（22·23下·湖北·二模）已知，，且，那么的最小值为（    ）A． B．2 C． D．44．（22·23上·重庆·一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．45．（22·23下·长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ）A． B．C． D．6．（22·23下·安康·二模）若，，且，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．7．（22·23·滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）A．6 B． C． D．8．（22·23·湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．（22·23下·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）．A． B．C． D．10．（22·23下·菏泽·一模）设实数满足，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．11．（22·23·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（    ）A． B． C． D．二、多选题12．（22·23·汕头·三模）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ）A． B．C． D．13．（22·23·白山·一模）若正数a，b满足，则（    ）A． B． C． D．14．（22·23·惠州·一模）若，则（    ）A． B．C． D．15．（22·23下·烟台·三模）已知且，则（    ）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为6 D．的最小值为416．（22·23下·江苏·二模）已知，，且，则（    ）A． B．C． D．17．（22·23·济宁·二模）已知，且，则下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．18．（22·23上·宁波·一模）已知正实数、满足，则（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最大值为19．（23·24上·长春·一模）设，为正实数，则下列不等式正确的是（    ）A． B．C． D．20．（22·23·福建·一模）已知正实数x，y满足，则（    ）A．的最小值为 B．的最小值为8C．的最大值为 D．没有最大值21．（22·23上·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为9 D．的最小值为22．（22·23下·江苏·一模）已知正数a，b满足，则（    ）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为三、填空题23．（22·23·南开·一模）已知实数，则的最小值为.24．（22·23下·崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于．25．（22·23·金山·二模）已知正实数满足,则的最小值为.26．（22·23·沈阳·二模）已知，则的最小值是．27．（22·23·安庆·三模）已知非负数满足，则的最小值是.28．（22·23下·邵阳·二模）若，，，则的最小值为．29．（22·23·延边·二模）设，，若，则取最小值时a的值为．30．（22·23下·贵阳·一模）正实数a，b满足，则的最小值为．31．（22·23·太原·一模）已知，，，则的最小值为.32．（22·23·四川·一模）已知正数x，y满足，则的最小值是.33．（22·23下·渭南·二模）设，若，则的最小值是.34．（22·23下·浙江·二模）已知正数x，y满足，则的最大值为．35．（2023·辽阳·二模）若，则的值可以是．36．（22·23上·重庆·一模）已知，则的最小值是.37．（22·23·哈尔滨·一模）已知，且，则的最小值为．38．（23·24上·长春·一模）已知，，，则的最小值为．39．（23·24·鞍山·二模）设且，则的最小值是．40．（22·23上·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为.