六五文档>基础教育>试卷>专题10 数列小题(原卷版)_20240229_233558
专题10 数列小题(原卷版)_20240229_233558
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专题10数列小题解题秘籍等差数列通项公式:或等差中项:若,,三个数成等差数列,则,其中叫做,的等差中项若,为等差数列,则,仍为等差数列等差数列前n项和公式:或等差数列的前项和中,,(为奇数)等比数列通项公式:等比中项:若,,三个数成等比数列,则,其中叫做,的等比中项若,为等比数列,则,仍为等比数列等比数列前项和公式:已知与的关系分组求和若为等差数列,为等比数列,则可用分组求和裂项相消求和模拟训练一、单选题1.(22·23·河北·一模)在各项均为正数的等比数列中,,,则(    )A.6 B.4 C.3 D.22.(22·23下·嘉兴·二模)已知是公差不为0的等差数列,,若成等比数列,则(    )A.2023 B.2024 C.4046 D.40483.(22·23下·台州·二模)已知公差不为零的等差数列满足:,且成等比数列,则(    )A. B. C. D.4.(22·23·宁德·二模)已知是数列的前项和,,,,数列是公差为1的等差数列,则(    )A.366 B.367 C.368 D.3695.(23·24上·宁波·一模)已知数列为等比数列,且,则(    )A.的最小值为50 B.的最大值为50C.的最小值为10 D.的最大值为106.(22·23下·镇江·三模)已知,,,,成等比数列,且和为其中的两项,则的最小值为(    )A. B. C. D.7.(22·23下·黄冈·二模)已知等差数列的前项和为,若,,则取最大值时的值为(    )A.10 B.11 C.12 D.138.(22·23·深圳·二模)宋代制酒业很发达,为了存储方便,酒缸是要一层一层堆起来的,形成堆垛,用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数,古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题:将半径相等的圆球堆成一个三角垛,底层是每边为n个圆球的三角形,向上逐层每边减少一个圆球,顶层为一个圆球,记自上而下第n层的圆球总数为,容易发现:,,,则(    )A.45 B.40 C.35 D.309.(22·23·广州·三模)小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元,并且每年在9月1日当天都存入一笔钱,每年比上年多存1000元,即第二年存入2000元,第三年存入3000元,……,连续存6年,每年到期利息连同本金自动转存,在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出,假设教育储蓄存款的年利率为p,不考虑利率的变化.在小明高中毕业的当年9月1日当天,一次性取出的金额总数(单位:千元)为(    ).A. B.C. D.10.(22·23·福州·三模)数列中,,点在双曲线上.若恒成立,则实数λ的取值范围为(    )A. B. C. D.11.(22·23·厦门·一模)已知数列满足:,,则数列的前项的和为(    )A. B. C. D.12.(22·23下·温州·三模)已知数列各项为正数,满足,,则(    )A.是等差数列 B.是等比数列C.是等差数列 D.是等比数列13.(22·23·张家口·一模)宽和长的比为的矩形称为黄金矩形,它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究.下图为一个黄金矩形,即.对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形,可得到不断缩小的黄金矩形序列,在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧,得到一条接近于对数螺线的曲线,该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分.若设,当无限增大时,,已知圆周率为,此时阴影部分的面积为(    )A. B. C. D.14.(22·23·汕头·三模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.已知一个三角垛,最顶层有1个小球,第二层有3个,第三层有6个,第四层有10个,则第30层小球的个数为(    )A.464 B.465 C.466 D.46715.(22·23下·襄阳·三模)为响应国家号召,某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元,用于进货,因质优价廉,供不应求.据测算:他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%,并且每月月底需扣除生活费800元,余款作为资金全部用于下月再进货,如此继续,预计到2023年5月底他的年所得收入(扣除当月生活费且还完贷款)为(    )元(参考数据:,)A.35200 B.43200 C.30000 D.3200016.(22·23下·武汉·三模)将按照某种顺序排成一列得到数列,对任意,如果,那么称数对构成数列的一个逆序对.若,则恰有2个逆序对的数列的个数为(    )A.4 B.5 C.6 D.717.(23·24上·郴州·一模)设数列满足且是前项和,且,则(    )A.2024 B.2023 C.1012 D.101118.(22·23·广州·三模)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中,研究了二阶等差数列.若是公差不为零的等差数列,则称数列为二阶等差数列.现有一个“三角垛”,共有40层,各层小球个数构成一个二阶等差数列,第一层放1个小球,第二层放3个小球,第三层放6个小球,第四层放10个小球,,则第40层放小球的个数为(    )A.1640 B.1560 C.820 D.78019.(22·23下·青岛·二模)设表示不超过的最大整数(例如:,),则(    )A. B. C. D.20.(22·23上·肇庆·二模)设数列的前项和为,且.若对任意的正整数,都有成立,则满足等式的所有正整数为(    )A.1或3 B.2或3 C.1或4 D.2或4二、多选题21.(22·23下·盐城·三模)已知数列对任意的整数,都有,则下列说法中正确的有(    )A.若,则B.若,,则C.数列可以是等差数列D.数列可以是等比数列22.(22·23下·武汉·三模)已知实数数列的前n项和为,下列说法正确的是(    ).A.若数列为等差数列,则恒成立B.若数列为等差数列,则,,,…为等差数列C.若数列为等比数列,且,,则D.若数列为等比数列,则,,,…为等比数列23.(22·23下·岳阳·三模)设数列的前n项和为,且,若,则下列结论正确的有(    )A. B.数列单调递减C.当时,取得最小值 D.时,n的最小值为724.(22·23下·辽宁·三模)已知数列的前n项和是,则下列说法正确的是(    )A.若,则是等差数列B.若,,则是等比数列C.若是等差数列,则,,成等差数列D.若是等比数列,则,,成等比数列25.(22·23·三明·三模)设等比数列的前项和为,前项积为,若满足,,,则下列选项正确的是(    )A.为递减数列 B.C.当时,最小 D.当时,的最小值为404726.(22·23下·威海·二模)已知数列的首项,前n项和为.设与k是常数,若对任意,均有成立,则称此数列为“”数列.若数列是“”数列,且,则(    )A. B.为等比数列C.的前n项和为 D.为等差数列27.(22·23·山东·二模)平面螺旋是以一个固定点开始,向外圈逐渐旋绕而形成的图案,如图(1).它的画法是这样的:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H作第二个正方形,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q作第三个正方形,以此方法一直循环下去,就可得到阴影部分图案,设正方形ABCD边长为,后续各正方形边长依次为,,…,,…;如图(2)阴影部分,设直角三角形AEH面积为,后续各直角三角形面积依次为,,…,,….则(    )  A.数列是以4为首项,为公比的等比数列B.从正方形开始,连续个正方形的面积之和为32C.使得不等式成立的的最大值为3D.数列的前项和28.(22·23·茂名·二模)已知数列和满足:,,,,,则下列结论错误的是(    )A.数列是公比为的等比数列 B.仅有有限项使得C.数列是递增数列 D.数列是递减数列29.(22·23下·苏州·三模)若数列满足:对任意的,总存在,使,则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有(    )A. B.C. D.30.(22·23·漳州·三模)已知数列,,且满足,,则(    )A. B.的最大值为C. D.三、填空题31.(2023下·淄博·二模)记为等比数列的前项和.若,则.32.(22·23下·永州·三模)已知等比数列,其前项和为,若,,则.33.(22·23下·长沙·三模)若数列中,,,且(),记数列的前n项积为,则的值为.34.(22·23下·无锡·三模)已约是一组平面向量,记,若,则满足的的值为.35.(22·23·烟台·二模)欧拉是瑞士数学家和物理学家,近代数学先驱之一,在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理.如著名的欧拉函数:对于正整数n,表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数,如,.那么,数列的前n项和为.36.(22·23·聊城·三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列1,1,2,3,5,8,,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中,的值可由和得到,比如兔子数列中,代入解得,.若,利用以上信息可得整数的值为.37.(22·23下·浙江·三模)某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为,且每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为为的前项和,则.(结果保留成整数)(参考数据:)38.(22·23下·黄冈·三模)已知数列满足:,若,且数列为递增数列,则实数的取值范围为.39.(22·23下·铜川·一模)已知正项数列中,,且为其前项和,若存在正整数,使得成立,则的取值范围是.40.(22·23下·岳阳·二模)定义是与实数的距离最近的整数(当为两相邻整数的算术平均值时,取较大整数),如,令函数,数列的通项公式为,其前项和为,则;.

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