专题11事件与概率小题解题秘籍1．事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．古典概型特点(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步骤(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立．互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以记成AB)类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式.（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.贝叶斯公式一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有模拟训练一、单选题1．（22·23下·台州·二模）袋子中有大小相同的个白球和个红球，从中任取个球，已知个球中有白球，则恰好拿到个红球的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求总的取球方法，再求恰好取到两个红球的方法，利用古典概率可得答案.【详解】因为取到的3个球中有白球，所以共有种方法，3个球中恰好有两个红球的取法共有种，设事件“取到的3个球中有白球，且恰好有2个红球”，则.故选：A.2．（22·23下·浙江·二模）甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出总的基本事件个数和甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的基本事件个数，再用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】记事件“A=甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，则事件包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有种不同下法，所以事件的概率为：，故选：C.3．（22·23下·江苏·二模）已经连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，都出现了正面向上的结果，第3次随机地抛掷这枚硬币，则其正面向上的概率为（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】记为3次抛掷的结果，.写出所有的样本点，设出事件，根据古典概型的概率公式，求出前两次正面向上的概率以及三次正面向上的概率，然后即可根据条件概率的公式，求出答案.【详解】记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为1，反面向上为0，记为3次抛掷的结果，.则试验的所有结果可能为，，，，，，，，，共有8个样本点.其中，前2次都出现了正面向上的结果，包含的样本点有，，共2个；3次都为正面向上，包含的样本点有，共1个.设前2次都出现了正面向上为事件，3次都为正面向上为事件，则，，显然，所以，在前2次都出现了正面向上的结果下，第3次正面向上的概率.故选：C.4．（22·23·邯郸·二模）2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，来自省的3名代表和省的3名代表合影留念.假设6名代表站成一排，则省的3名代表互不相邻，且省的3名代表也互不相邻的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出6名代表站成一排的所以排法，再求A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的所有排法，利用古典概型概率公式求其概率.【详解】6名代表站成一排的所有排法共有种排法，省的3名代表互不相邻，且省的3名代表也互不相邻的排法可分为两类：第一类：省的3名代表坐在第位置，共有种排法，第二类：省的3名代表坐在第位置，共有种排法，所以省的3名代表互不相邻，且省的3名代表也互不相邻的排法共有种排法，所以事件省的3名代表互不相邻，且省的3名代表也互不相邻的概率.故选：B.5．（22·23下·莆田·二模）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77【答案】D【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，所以，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件为“选到绑带式口罩”，则所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.故选：D.6．（22·23·大连·一模）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先讨论分书的总方法，再求概率即可.【详解】解：可以分为三类情况：①“2，2，2型”，有（种）方法；②“1，2，3型”，有（种）方法；③“1，1，4型”，有（种）方法，所以一共有（种）方法．甲得到4本方法，.故选：A7．（22·23上·永州·一模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，根据条件概率的公式，结合古典概型的概率计算公式，可得答案.【详解】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为，事件的情况数为，则事件发生的概率为，事件与事件的交事件为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”事件的情况数为，则事件发生的概率为，即.故选：C.8．（22·23下·武汉·三模）已知，，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，独立事件的概率公式即可求解.【详解】,即，解得.故选：D.9．（22·23·潍坊·三模）已知事件,,，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件概率的公式以及对立事件之间的关系列出方程组，解方程组即可得.【详解】由条件概率公式可知,即①,,即②,而，所以③，又已知④,①②③④联立可得.故选：C10．（22·23·潍坊·二模）已知事件A、B满足，，则（    ）A． B．C．事件相互独立 D．事件互斥【答案】C【分析】利用对立事件概率求法得，结合已知即独立事件的充要条件判断C，由于未知其它选项无法判断.【详解】由题设，所以，即相互独立，同一试验中不互斥，而未知，无法确定、.故选：C11．（22·23下·无锡·三模）已知，为两个随机事件，，，，，则（    ）A．0.1 B． C．0.33 D．【答案】B【分析】根据互斥、对立事件的加法公式和条件概率公式和乘法公式即可求解。【详解】，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故选：B.12．（23·24上·郴州·一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五