专题14立体几何小题综合解题秘籍立体几何基础公式所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式：球体表面积公式：，圆柱：圆锥：长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式已知长宽高求体对角线：已知共点三面对角线求体对角线：棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.5．空间的线线平行或垂直设，，则；.夹角公式设，b＝，则.6．异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）7．直线与平面所成角，(为平面的法向量).8..二面角的平面角（，为平面，的法向量）.异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.模拟训练一、单选题1．（22·23下·无锡·三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则2．（22·23·宁德·二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．3．（22·23下·长沙·三模）已知平行六面体的各棱长都为，，、、分别是棱、、的中点，则（    ）A．平面B．平面平面C．平面与平面间的距离为D．直线与平面所成角的正弦值为4．（22·23下·湖北·三模）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）  A． B． C． D．5．（22·23下·黄冈·二模）已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．6．（22·23·潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（    ）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺7．（22·23·山东·二模）正四棱柱中，，为底面的中心，是棱的中点，正四棱柱的高，点到平面的距离的最大值为（    ）A． B． C． D．8．（22·23·福州·三模）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（    ）  A． B． C． D．9．（22·23下·浙江·二模）在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．10．（22·23下·盐城·三模）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ）A． B． C． D．11．（22·23·衡水·一模）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（    ）A． B． C． D．12．（22·23·保定·二模）如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（    ）  A． B． C． D．13．（2023·遂宁·三模）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（    ）A．当运动时，二面角的最小值为B．当运动时，三棱锥体积不变C．当运动时，存在点使得D．当运动时，二面角为定值14．（22·23·黄山·二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥，使与重合，与重合，与重合，与重合，点重合于点，如图2.则正四棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．15．（22·23下·绍兴·二模）如图，为直角梯形，.连，将沿翻折成三棱锥，当三棱锥外接球表面积的最小值时，二面角的余弦值为（    ）A． B．0 C． D．二、多选题16．（22·23·南京·一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）  A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．三点共线17．（22·23·秦皇岛·二模）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（    ）A．存在平面，有 B．存在平面，有C．存在直线，有 D．存在直线，有18．（22·23·吕梁·二模）已知正方体的棱长为4，为上靠近的四等分点，为上靠近的四等分点，为四边形内一点（包含边界），若平面，则下列结论正确的是（    ）A．线段长度的最小值为 B．三棱锥的体积为定值C．平面 D．直线与平面所成角的正弦值为19．（22·23·宁德·一模）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）A．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大20．（23·24上·永州·一模）菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（    ）A．平面B．球的表面积为C．球被三棱锥表面截得的截面周长为D．过点与直线所成角均为的直线可作4条21．（22·23·海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）  A．不存在点Q，使得B．存在点Q，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点Q，都是钝角三角形22．（22·23·龙岩·二模）如图，已知平面，，，为的中点，，则（    ）  A． B．C．平面 D．直线与所成角的余弦值为23．（22·23下·河北·一模）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点P，Q，M分别为，，的中点，下列结论正确的有（    ）  A．平面 B．该四棱柱有外接球，则四边形为正方形C．与平面不可能垂直 D．24．（22·23·安庆·三模）如图，已知四边形是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中正确的是（    ）  A．B．与可能垂直C．四面体的体积的最大值是D．直线与平面所成角的最大值是25．（22·23·曲靖·三模）如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（    ）  A．直线为异面直线B．平面C．过点的平面截正方体的截面面积为D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是26．（22·23·梅州·三模）已知正方体的棱长为2，为四边形的中心，为线段上的一个动点，为线段上一点，若三棱锥的体积为定值，则（    ）A． B．C． D．27．（22·23·郴州·二模）在正四棱台中，，，为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，下列说法正确的有（    ）A．该正四棱台的高为2B．该正四棱台的体积为224C．平面截该正四棱台的截面面积是D．该正四棱台的内切球半径为128．（22·23·聊城·三模）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则下列结论正确的是（    ）  A．存在点使B．不存在点使平面平面C．若，，，四点共面，则的最小值为D．若，，，，五点共球面，则的最小值为29．（22·23·淄博·三模）如图，已知圆柱母线长为，底面圆半径为，梯形内接于下底面，是直径，//，，点在上底面的射影分别为，，，，点分别是线段，上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则（    ）  A．若面交线段于点，则//B．若面过点，则直线过定点C．的周长为定值D．当点Q在上底面圆周上运动时，记直线，与下底面圆所成角分别为，，则30．（22·23·德州·三模）在棱长为的正方体中，已知点在面对角线上运动，点、、分别为、、的中点，点是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则（    ）A．平面B．平面平面C．过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为D．动点到点的距离的取值范围是31．（22·23·宁德·二模）在棱长为1的正方体中，，，分别为线段，，上的动点（，，均不与点重合），则下列说法正确的是（    ）  A．存在点，，，使得平面B．存在点，，，使得C．当平面时，三棱锥与三棱锥体积之和的最大值为D．记，，与平面所成的角分别为，，，则32．（22·23·三明·三模）如图，正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内一动点，则下列结论正确的为（    ）  A．当在上时，三棱锥的体积为定值B．与所成角正弦的最小值为C．过作垂直于的平面截正方体所得截面图形的周长为D．当时，面积的最小值为33．（22·23·大连·三模）已知异面直线与直线所成角为，过定点的直线与直线、所成角均为，且平面与平面的夹角为，直线与平面所成角均为，则对于直线的条数分析正确的是（    ）A．当时，直线不存在 B．当时，直线有3条C．当时，直线有4条 D．当时，直线有4条34．（23·24上·湖北·一模）正方体棱长为4，动点、分别满足，其中，且，；在上，点在平面内，则（    ）A．对于任意的，且，都有平面平面B．当时，三棱锥的体积不为定值C．若直线到平面的距离为，则直线与直线所成角正弦值最小为．D．的取值范围为35．（22·23·厦门·一模）已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（    ）A．四边形的周长为定值B．四棱锥的体积的最大值为C．当时，平面截球所得截面的周长为D．当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为三、填空题36．（22·23下·常州·二模）在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是.37．（22·23·日照·三模）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为.    38．（22·23·嘉定·三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有.  ①②；③；④.39．（22·23·海口·二模）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为．  40．（22·23·保定·二模）如图，在四面体中，，则四面体体积的最大值为．