点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.x2y2【例1】过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.164x2y2【例2】已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．a2b2(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.x2y2【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C:+=1a>b>0经过点P0,1，且a2b23离心率为.2(1)求椭圆C的标准方程；3(2)设过点0,-的直线l与椭圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，线段AB的中点为M，求MO的5最大值.【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.22引理：设Ax1,y1、Bx2,y2是二次曲线C:Ax+By+Cx+Dy+F=0上两点,Px0,y0是弦AB的中点,且弦AB的斜率存在,二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：x2已知椭圆+y2=1.211(1)求过点P,且被P点平分的弦所在直线的方程;22(2)过点A2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.(三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率x2【例5】已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F,F,点M,N在椭圆C上.5121(1)若线段MN的中点坐标为2,,求直线MN的斜率；3(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.x2y29【例6】已知椭圆+=1上不同的三点Ax,y,B4,,Cx,y与焦点F4,0的距离成等差数列.(1)25911522求证：x1+x2=8；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.(四)点差法在轴对称中的应用6x2【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O为坐标原点，点1,在椭圆C：+2a2y2=1a>b>0上，直线l：y=x+m与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为b21-．2(1)求C的方程；(2)若m=1，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．x2y26【例8】已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点1,，直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且线段a2b221AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为-．2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，求实数m的范围．(五)利用点差法可推导的结论x2y2在椭圆+=1a>b>0中,若直线l与该椭圆交于点A,B,点Px,y为弦AB中点,O为坐标原a2b200b2点,则k⋅k=,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.ABOPa2x2y2【例9】(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C：-=1(a、ba2b2为正常数)的右顶点为A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点．(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2,求k1·k2的值；AM1(2)若=,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．PQ2三、跟踪检测x21.已知椭圆C:+y2=1,F为右焦点，直线l:y=t(x-1)与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的21对称点S，设线段AS与线段BS的中垂线交于点Q．(1)当t=2时，求QF1；QF(2)当t≠0时，求1是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．|AB|x2y222.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，上a2b22顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为(2,1)时，直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.x23.已知椭圆+y2=1．2(1)过椭圆的左焦点F引椭圆的割线，求截得的弦的中点P的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程；11(3)求过点M,且被M平分的弦所在直线的方程．22x2y264.已知椭圆C：+=1(a>b>0)过点1,，直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且线段a2b22AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为-0.5.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当m=1时，椭圆C上是否存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上．x2y26.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C:+=1a>b>0的左、右焦点分a2b243别为F-1,0,F1,0,过点F的直线l交椭圆C于A,B两点.当直线l的斜率为1时,点-,是线1211177段AB的中点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图,若过点F2的直线l2交椭圆C于E,G两点,且l1∥l2,求四边形ABEG的面积的最大值.7.如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MN⊥l,N为垂足,点N坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求△AOB的面积(O为坐标系原点).8.在平面直角坐标系xOy中,设点F(1,0),直线l：x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹E的方程；(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M、N.求直线MN过定点D的坐标.9.中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；3③点P在该双曲线上,F、F为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为时,恰好PF⊥PF.12212(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.x2y210.己知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为42,短轴长为2,直线l过点P-2,1且与椭圆C交于A、a2b2B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1,求弦AB的长；1(3)若过点Q1,的直线l与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦EG的中点,求直线l的方程．211x2y2111.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为,AB为椭圆的一条弦,直a2b22线y=kx(k>0)经过弦AB的中点M,与椭圆C交于P,Q两点,设直线AB的斜率为k1,点P的坐标为31,2(1)求椭圆C的方程；(2)求证：k1k为定值.12.已知双曲线C：2x2-y2=2与点P1,2．(1)是否存在过点P的弦AB,使得AB的中点为P；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,证明：A、B、C、D四点共圆．13.李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F1,F2处,|F1F2|<8,套上铅笔,拉紧细绳,π移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C,当笔尖运动到点M处时,经测量此时∠FMF=,且122△F1MF2的面积为4．(1)以F1,F2所在直线为x轴,以F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C的方程(铅笔大小忽略不计)；(2)若直线l与轨迹C交于A,B两点,且弦AB的中点为N(2,1),求△OAB的面积．14.若抛物线C:y2=x上存在不同的两点关于直线l:y=mx-3对称,求实数m的取值范围.