专题04实数的综合运算与应用实数的分类与性质应用1．（2022秋•新昌县期末）在实数，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据无理数的三种形式求解即可．【解析】解：在这8个数中，无理数有、、、（每各一个1增加一个这4个，故选：C．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】A【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．【详解】解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴，∴，∴a+b＞0，∴C选项的结论不成立；∵∴，∴D选项的结论不成立．故选：A．【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．3．（2023春·山东威海·八年级统考期中）化简二次根式a-a+2a2的结果是（     ）A．-a-2 B．－-a-2 C．a-2 D．－a-2【答案】B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】?a-a+2a2=a-a-2a2=a?-a-2-a=--a-2故选B【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．4．（2022·四川广安·统考中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．【答案】11或13/13或11【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，当为腰时，周长为：，当为腰时，三角形的周长为，故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．5．（2023春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）设a为3+5-3-5的小数部分，b为6+33-6-33的小数部分，则2b-1a值为．【答案】6-2+1【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可．【详解】∵3+5-3-5=6+252-6-252=5+122-5-122=5+12-5-12=1+12=2，且，a为3+5-3-5的小数部分，∴a=2-1；∵6+33-6-33=12+632-12-632=3+322-3-322=3+32-3-32=232=6，且，b为6+33-6-33的小数部分，∴b=6-2；∴2b-1a=26-2-12-1=6+2-2-1=6-2+1，故答案为：6-2+1．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键．6．（2023•沭阳县模拟）把下列各数填在相应的集合里：．有理数集合：{          ，…}；无理数集合：{          ，…}；正实数集合：{          ，…}；负实数集合：{          ，…}．【答案】：；；；【分析】直接利用有理数、无理数，正实数，负实数的定义得出答案．【解析】有理数集合：；无理数集合：；正实数集合：；负实数集合：．【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握有理数、无理数，正实数，负实数的定义是解决本题的关键．7．（2023·浙江·假期作业）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…，．整数部分为2：，，…；，，…．整数部分为3：，，…；，，…．(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？【答案】(1)最小值为64，最大值为124(2)11个【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案，（2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得：的最小值64，的最大值124；（2）的最小值25，的最大值35，可能的值有11种．【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中．8.（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b<0，且b的倒数是它本身，且a、c满足c-42+a+3=0．（1）计算：a2-2a-c的值；（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．【答案】（1）13；（2）-8【分析】（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a和c的值，再代入求解，即可；（2）根据倒数的定义，求出b的值，再求出A，B中点所对应的数，进而即可求解．【详解】解：（1）∵(c-4)2+a+3=0，∴c-4=0,a+3=0，解得：a=-3,c=4，则=9+6-2=13；（2）∵b<0，且b的倒数是它本身，∴b=-1，∵a=-3，∴-3和-1重合，-3和-1的中点为-2，∵c=4，∴与点C重合的点表示的数是-8．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的关键．实数有关的规律性及框图题计算1．（2022秋•金华期末）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．【解析】解：∵，，，……∴=．故选：D．【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．2.（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【答案】【分析】根据程序框图进行运算求解即可．【详解】解：由题意知，，取算术平方根为，8是有理数，取立方根，2是有理数，取算术平方根，是无理数，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握．3.（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________【答案】【分析】将代入程序进行计算即可求解．【详解】解：当时，，当时，，当时，，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．4．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 ．【答案】5【详解】解：当a＝3，b＝4时，＝＝＝5，所以输出的结果为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是根据程序顺序进行求解，再根据所找到的规律解答．5．（2022秋•温州期末）计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是．  【答案】4【分析】根据题意分别计算出前六步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解．【解析】解：输入一个数后，第一步的结果为，第二步的结果为，第三步的结果为，第四步的结果为，第五步的结果为，第六步的结果为，第七步的结果为，由此可知，运算的结果六步为一个周期，，，第2023次按键后，显示的结果是4，故答案为4．【点睛】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键．6．（2022秋•余姚市期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．    (1)当输入的x值为时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．【答案】(1)(2)1或2或3，理由见解析(3)【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．【解析】（1）解：当时，，4的算术平方根为，而2是有理数，2的算术平方根为，故答案为：；（2）解：1或2或3，理由如下：∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，∴当或0时，解得或2或3，∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；（3）解：若1次运算就是，∴∴∴解得或，∴x为负整数，则输入的数为；若2次运算输出的数是，∴∴∴解得或∵∴不符合题意，综上所述，．【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．实数有关的新定义运算1．（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝ ．【答案】（﹣1，﹣2）．【详解】解：∵（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），∴2p＝﹣4，p＝﹣2，3q＝9，q＝3，∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．【点睛】本题考查了新定义，实数的运算，正确确定出a，b，c，d的取值情况是解题的关键．2．（2022秋•南浔区期末）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a，b为连续正整数），我们则称无理数m的“福区间”为．例：∵，∴的“福区间”为．若某一无理数的“福区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，则p的值为．【答案】33或127或353【分析】根据“福区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件确定出a，b的取值，然后分情况计算即可．【解析】解：∵无理数的“福区间”为，∴a、b为连续正整数，∵，其中是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，∴符合条件的a，b有：，，或，，或，，，当，，时，，，则，即；当，，时，，，则，即；当，，时，，，则，即；综上，p的值为33或127或353，故答案为：33或127或353．【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程的解，正确确定出a，b的取值情况是解题的关键．3.（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【答案】【分析】读懂新定义，利用新定义计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查新定义实数的运算，解题的关键是理解新定义的运算方法．4.（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．【答案】【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．5．（2022秋•余姚市月考）请认真阅读下面的材料，再解答问题．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；(2)81的四次方根为______；的五次方根为______；(3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是