专题05全等三角形压轴题训练1．△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，角平分线AD、BE相交于点O，则四边形OECD的面积为( )A．5 B． C． D．8【答案】C【分析】由题意作OM⊥AB于M，OJ⊥BC于J，OK⊥AC于K，DH⊥BC于H，连接OC，并根据题意分别求出CD，CE，OJ，OK即可解决问题．【详解】解：如图，作OM⊥AB于M，OJ⊥BC于J，OK⊥AC于K，DH⊥BC于H，连接OC．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵点O是△ABC的内心，∴OM=OJ=OK2，∵∠DCA=∠DHA=90°，AD=AD（公共边），∠DAC=∠DAH，∴△DAC≌△DAH(AAS)，∴CD=DH，AC=AH=8，∴BH=10﹣8=2，设CD=DH=x，在Rt△BDH中，∵BD2=BH2+DH2，∴(6﹣x)2=x2+22，∴x，同法可求：EC=3，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE•CD•OJ•EC•OK23×2．故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（    ）A．180° B．200° C．210° D．240°【答案】A【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．【详解】解：过点作于，如图，是的角平分线，，，，在和中，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．3．如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（  ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE的面积．【详解】解：作EG⊥AC于点G，作BF⊥AC于点F，作DH⊥AC于点H，则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC＝∠CHD＝90°，∴∠EAG＋∠AEG＝90°，∵AB⊥AE，BC⊥CD，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，∴∠EAG＋∠FAB＝90°，∴∠AEG＝∠BAF，在△EAG和△ABF中，，∴△EAG≌△ABF（AAS），∴AG＝BF，EG＝AF，同理可证：△BFC≌△CHD，∴BF＝CH，CF＝DH，设AG＝x，EG＝y，CF＝z，则BF＝CH＝x，AF＝y，DH＝z，∴S凸五边形ABCDE＝S△AEG＋S△AFB＋S△BFC＋S△CDH＋S梯形EGHD＝＝，∵y＋z＝AF＋FC＝AC＝m，∴＝12m2，即凸五边形ABCDE的面积等于12m2，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．4．如图，中，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ）A．2.4 B．3 C．4 D．4.8【答案】A【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值【详解】过点作于，交于点，过点作于点，∵平分，∴，∴，∵中，，，，，，∵，∴，∴，即的最小值是故选A．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和5．如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可．【详解】解：过C作轴于M，轴于N，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．故选:A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出．6．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．【详解】解：如图，在上截取，连接平分，平分，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，周长为，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．7．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（ ）  A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】作于E，于F，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误；【详解】解：如图，作于E，于F．  ∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴．在和中，∴，∴．在和中，∴，∴，故①正确．∴定值，故③正确．∴定值，故②正确．故选：A．【点睛】本题侧重考查角平分线的题目，需要掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．如图，在中，，角平分线、交于点O，于点．下列结论；①；②；③；④，其中正确结论是．  【答案】①③④【分析】过点作于点，由角平分线的性质定理可得，然后结合三角形面积公式即可判断结论①；首先求得，假设，则，可求得，再根据，即可判断结论②；在上截取，连接，分别证明和，由全等三角形的性质可得，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得，，可知，即可判断结论④．【详解】解：如下图，过点作于点，      ∵平分，，，∴，∴，故结论①正确；∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，又∵，∴，故结论②错误；在上截取，连接，    在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，故结论③正确；∵，，∴，，∴，∴，故结论④正确．综上所述，结论正确的为①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识并熟练运用是解题关键．9．已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为．  【答案】或【分析】添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解．【详解】如图，过作于点，    ∴，∴，∵，∴，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，设，则，∴，，∴，∴，，则，如图，过作交延长线于点，    ∴，∴，∵，∴，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，设，则，∴，，∴，∴，，则，故答案为：或．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，有关三角形的面积的求解，解题的关键是正确作出所需要的辅助线．10．如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是．（只填写序号）  【答案】①③④【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明，利用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解．【详解】解：∵的角平分线、相交于点O，∴，，，故①正确；延长交于H，如图所示：  ∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故②错误；∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，∴，故④正确；因此正确的有：①③④．故答案为：①③④．【点睛】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键．11．如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于．  【答案】【分析】如图，将逆时针旋转到，连接、，则，，，证明，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，将逆时针旋转到，连接、，  ∴，，∴，∴，即，∵，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，平行线间距离相等，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于正确的添加辅助线构造全等三角形．12．如图，在中，，是的平分线，过点作的垂线交延长线于点，若，则的度数是  【答案】/53度【分析】延长至点，使，先求得，进而证得，得到，结合即可求得答案．【详解】如图所示，延长至点，使．  ∵，，∴．∴．∵，是的平分线，∴．∴，．∴．在和中∴．  ∴．∴．∵，∴．∴．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、多边形内角和等，能根据题意作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．13．如图，在中，，以为斜边作，，E为上一点，连接、，且满足，若，，则的长为．  【答案】【分析】延长至O点，使得，连接，先证明，再证明，问题随之得解．【详解】延长至O点，使得，连接，如图，  ∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，构造合理的辅助线是解答本题的关键．14．已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点．(1)如图，求证：．  (2)如图，连接，求证：平分．  (3)如图，若，，，求的值．  【答案】(1)见解析(2)详见解析(3)【分析】（1）由角平分线的性质得出，，由三角形的内角和定理得出，，代入即可得出结论；（2）过点作于，于，于，证明，则点在的平分线上，即可得出结论；（3）过点作交的延长线于点，过点作平分交于点，过点作于，于，证明，，由角平分线的性质得出，，由证得，，由证得，，求出，由，，进行计算即可得出结论．【详解】（1）证明：平分，平分，，，，，，；（2）证明：如图，过点作于，于，于，  平分，平分，，，，点在的平分线上，平分；（3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作平分交于点，过点作于，于，  ，，，平分，，，，平分，平分，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握角平分线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．如图，在中，，的平分线，交于点．(1)如图1，若．①求的度数；②试探究线段与、之间的关系，请写出你的结论，并证明．  (2)如图2，点，分别在，上，连接，其中，．求证：．  【答案】(1)①；②，证明见解析(2)见解析【分析】（1）①由角平分线的定义可得，再由和三角形内角和定理可得，，根据三角形外角的性质即可求解；②在上截取，证明，，根据全等三角形的性质即可证明；（2）由角平分线的性质可得，，由可得，证得，在线段上截取，连接，易证，由全等三角形的性质和已知证明，可得，即可得．【详解】（1）解：①∵平分.∴，同理，∴，∵，∴，∵是的一个外角∴；②，理由如下：如图，在上截取，  ∵，∴∴∵∴∴，∴∵，∴∴∴；（2）解：∵平分，平分∴，∵∴∴∵∴∴.在线段上截取，连接，  ∵平分，   ∴，在和中，，，，∴，   ∴，∵，∴，∵  ，由（1）得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和与外角的性质等，添加适当的辅助线是解题的关键．16．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得．请结合上述结论解决如下问题：已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．  (1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的