专题04等腰三角形的轴对称性等腰三角形的判定1．（2022·泰州期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，在图中给出的、、、四个格点中，能与点、构成等腰三角形，且面积为2的是 A． B． C． D．【答案】【详解】解：根据图形可知，是等腰三角形，则，．故本题选：．2．（2022·连云港期中）如图，中，，，，是上的两点，且，则图中等腰三角形的个数是 A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【详解】解：，，，，等腰三角形，，，，，，共有6个．故本题选：．3．（2022·扬州期中）如图：在的边的延长线上，点在边上，交于点，，，过作交于．求证：是等腰三角形．【详解】证明：，，在和中，，，，又，，，，，，是等腰三角形．等腰三角形的性质1——两腰相等4．（2022·南通期中）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是 A． B． C．或 D．无法确定【答案】【详解】解：当腰为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，周长为；当腰为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，周长为；综上，等腰三角形的周长是或．故本题选：．5．（2022·宿迁期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边长为5，则等腰三角形的周长为 ．【答案】25【详解】解：等腰是“倍长三角形”，或，若，则三边分别是10、10、5，能构成三角形，等腰三角形的周长为；若，则，三边分别是2.5、2.5、5，，此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上，等腰三角形的周长为25．故本题答案为：25．6．（2022·泰州期中）若二元一次方程组的解，的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则的值为 A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2【答案】【详解】解：，①②得：，将代入②得：，根据与为三角形边长，得到，即，若为腰，则有，即，解得：；若为底，则有，解得：（舍去）；若，都为腰，则有，解得：，三边为1.5，1.5，4，不能构成三角形，舍去；综上，的值为2．故本题选：．等腰三角形的性质2——等边对等角7．（2022·苏州期中）在中，，当 时，为等腰三角形．【答案】、、【详解】解：若为顶角，且，则；若为底角，且为底角，则；若为底角，且为顶角，则，．故本题答案为：、、．8．（2022·无锡期中）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于 A．或 B． C． D．或【答案】【详解】解：根据题意得：，，如图（1），，则；如图（2），，，；综上，这个等腰三角形的顶角等于或．故本题选：．9．（2022·连云港期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是 A． B． C． D．【答案】【详解】解：是等腰三角形，①，是线段的垂直平分线，，的垂直平分线正好经过点，与相交于点可知是等腰三角形，是的平分线，，即②，①②联立得：．故本题选：．10．（2022·南京期中）如图，，交于点．若，则 ．【答案】145【详解】解：，，，，，，，．故本题答案为：145．11．（2022·盐城期中）如图，在钢架、中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条、、来加固钢架，且，则的最大值为 ．（结果保留整数）【答案】【详解】解：设，，，，，，，且，则，故的最大值约为．故本题答案为：．12．（2022·扬州期中）如图，在第1个△中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个△；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个△，按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是 A． B． C． D．【答案】【详解】解：在△中，，，，，是△的外角，，同理可得：，，第个三角形中以为顶点的底角度数是，第2021个三角形中以为顶点的底角度数是．故本题选：．13．（2022·常州期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是 ．【答案】或【详解】解：如图，当点在点的左侧时，，，，，，，；当点在点的右侧时，，，，，，，；综上，的度数是或，故本题答案为：或．14．（2022·南通期中）中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时中的最大内角为，那么其它分割法中，中的最大内角度数为 ．【答案】或或【详解】解：①如图1，，，；②如图2，，，，；③如图3，，，，；综上，其它分割法中，中的最大内角度数为或或，故本题答案为：或或．等腰三角形的性质3——“三线合一”15．（2022·苏州期中）如图，，，分别为，的中点，若，则的度数为 A． B．100 C． D．【答案】【详解】解：，，分别为，的中点，，，，，．故本题选：．16．（2022·扬州期中）如图，中，，，垂足为．若，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】6【详解】解：，，，，，，，即图中阴影部分的面积为6．故本题答案为：6．17．（2022·扬州期中）如图，在中，，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为 ．【答案】6.4【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，，，，由勾股定理得：，，，的面积的面积的面积，，，，．故本题答案为：6.4．18．（2022·常州期中）如图，中，，，，、分别是线段和线段上的动点，且，是线段上一点，且，则的最小值为 A．3 B．2.5 C．2 D．4【答案】【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点，，，，同理可得：，，即，，，，四边形为矩形，，，最小值为2.5．故本题选：．等腰三角形的判定与性质19．（2022·苏州期中）如图，点是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长度为 ．【答案】6【详解】解：平分，，，，，，同理可得：，，．故本题答案为：6．20．（2022·盐城期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 A．1 B．1.5 C． D．4【答案】【详解】解：如图，延长与交于点，，，，平分，，，2BD=BE，，，，，，．故本题选：．21．（2022·连云港期中）如图，是的角平分线，，交于点．（1）求证：．（2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由．【详解】（1）证明：是的角平分线，，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，，，，由（1）得：，，．22．（2022·泰州期中）如图，的两条外角平分线、相交于点，过点，且，分别交、于点、．（1）求证：；（2）若，求的值．【详解】（1）证明：的两条外角平分线、相交于点，，，，，，，，，，；（2）解：，，，，．23．（2022·徐州期中）如图，中，，平分，平分，和相交于点．（1）与相等吗？请说明你的理由；（2）连接，的延长线交于点，试判断与的位置关系，并说明理由．【详解】解：（1），理由如下：，，平分，平分，，，，；（2），理由如下：如图，，，直线是的垂直平分线，．24．（2022·南通期中）如图，在中，，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，．（1）求的度数；（2）求的周长．【详解】解：（1），，平分，平分，，；（2）平分，，，，，，同理可得：，，，，，的周长．等边三角形的判定25．（2022·扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】【详解】解：（1）因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形，该结论正确；（2）两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形，该结论错误；（3）等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形，该结论错误；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形，该结论正确．故本题选：．26．（2022·无锡期中）如图所示，在等腰中，，为的中线，为上的一点，且的垂直平分线过点并交于．求证：是等边三角形．【详解】证明：，为的中线，，，是的垂直平分线，，，是等边三角形．27．（2022·常州期中）如图，，，，．（1）求的度数；（2）求证：是等边三角形．【详解】（1）解：，，，故本题答案为：；（2）证明：，，，，，是等边三角形．等边三角形的判定与性质28．（2022·无锡期中）一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶100海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶100海里到达地，则，两地相距 A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里【答案】【详解】解：如图，连接，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向，，，，又，为等边三角形，（海里）．故本题选：．29．（2022·苏州期中）如图，在四边形中，，，，点为上一点，连接，交于点，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，，求的长．【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下：，，是等边三角形，，，，，，是等边三角形；（2）如图，连接交于点，，，是的垂直平分线，即，，，，，，，，是等边三角形，，．30．（2022·宿迁期中）已知：如图，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点．（1）求证：；（2）求证：为等边三角形．【详解】证明：（1），是等边三角形，，，，，即，在和中，，，；（2），，又，，在和中，，，，为等腰三角形，又，为等边三角形．含30°角的直角三角形31．（2022·南通期中）如图，在中，，点在边上，且，若，，则 ．【答案】1【详解】解：如图，过点作于，又，，．在直角中，，，，，．故本题答案为：1．32．（2022·盐城期中）如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若，则的面积为 ．【答案】18【详解】解：，是的中点，，，，，由三角形的外角性质得：，，，四边形中，，，，，．故本题答案为：18．33．（2022·苏州期中）如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点落在点的位置，如果，那么线段的长度为 ．【答案】【详解】解：如图，过作于，是的中线，，由折叠可得：，，，，，，在中，，，．故本题答案为：．直角三角形的斜边上的中线34．（2022·淮安期中）如图，将直角三角形纸片折叠，恰好使直角顶点落在斜边的中点的位置，是折痕，已知，，则 ．【答案】【详解】解：如图，连接交于点，翻折前后对应边相等，，，是的垂直平分线，于，为中点，，，，，，为中点，．故本题答案为：．35．（2022·无锡期中）如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则 ．【答案】【详解】解：如图，取的中点，连接，，，，又，，，，是等边三角形，，，，，，，即，，，中，．故本题答案为：．36．（2022·无锡期中）如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为 A． B． C．36 D．【答案】【详解】解：如图，连接、，由题意可知：，，，，，，，，，，，，，．故本题选：．37．（2022·宿迁期中）如图，在锐角三角形中，，分别是，边上的高，，分别是线段，的中点．（1）求证：．（2）连接，，猜想与之间的关系，并证明你的猜想．（3）当变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．【详解】（1）证明：如图（1），连接，，、分别是、边上的高，是的中点，，，，又为中点，；（2）在中，，，，；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：如图（2），连接，，在中，，，，．38．（2022·无锡期中）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有 个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】【详解】解：在中，和的平分线相交于点，，，，，，，，，，，故①正确；在中，和的平分线相交于点，，，，，，故②正确；在中，和的平分线相交于点，点到各边的距离相等，故