专题09数轴的阅读理解问题专项训练1．（2022秋•商河县期中）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点，，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“平衡点”．解答下列问题：经验反馈：（1）若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“平衡点”，则点表示的数为 ；（2）若点表示的数为，点与点的“平衡点”表示的数为1，则点表示的数为 ；操作探究：如图，已知在纸面上有一条数轴．操作一：折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合．操作二：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示的点与表示 的点重合；②若数轴上，两点的距离为在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为 ，【分析】经验反馈：（1）根据平衡点的定义进行解答即可；（2）根据平衡点的定义进行解答即可；操作一、二：根据两个点对折重合，可求出对折点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，求出该点所对应的数．【解答】解：经验反馈：（1）点表示的数；故答案为：；（2）点表示的数；故答案为：5；操作一：表示1的点与表示的点重合，即对折点所表示的数为，设这个数为，则有，解得，，故答案为：5；操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为，①设与表示的点重合，则有，解得，，故答案为：6；②设点、点所表示的数为、，则有：，解得，，，故答案为：．2．（2022秋•香洲区期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”，若到、的距离之和为6，则叫做、的“幸福中心”（1）如图1，点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 ；（2）如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，点就是、的幸福中心，则所表示的数可以是 （填一个即可）；（3）如图3，、、为数轴上三点，点所表示的数为，点所表示的数为4，点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心？【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；（3）分两种情况列式：①在的右边；②在的左边讨论；可以得出结论．【解答】解：（1）的幸福点所表示的数应该是或；（2），，之间的所有数都是，的幸福中心．故所表示的数可以是或或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）设经过秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心，依题意有①，解得；②，解得．故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心．3．（2022秋•武侯区校级期中）阅读理解：若、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离3倍，我们就称点是【，】的金点．例如，如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示数2的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是【，】的金点，但点不是【，】的金点．（1）如图1，点 【，】的金点（填“是”或“不是”；点是【 ， 】的金点．（2）如图1，若点是【，】的金点，则点在数轴上表示的数是多少？（3）如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为20．现有一点从点出发，向左运动，若点运动到点停止，点在数轴上某处时，此时点、和中恰有一个点为其余两点的金点，则点表示的数是多少？（直接写出答案）【分析】（1）根据新定义进行解答；（2）分两种情况进行讨论：当点在，之间时；当点在点右侧时．根据新定义列出方程解答；（3）分四种情况进行讨论：当点是【，】的金点时；当点是【，】的金点时；当点是【，】的金点时；当点是【，】的金点时，分别列方程解答．【解答】解：（1）点到点的距离是3，点到点的距离是1，符合金点的定义，故点是【，】的金点；点到点的距离是3，点到点的距离是1，点是【，】的金点．故答案为：是，【，】；（2）点是【，】的金点，则点在数轴上表示的数是．分两种情况进行讨论：当点在，之间时，方程为：，解得：．当点在点右侧时，方程为：，解得：；（3）点在数轴上表示的数是．分四种情况进行讨论：当点是【，】的金点时：方程为：，解得：．当点是【，】的金点时：方程为：，解得：．当点是【，】的金点时：方程为：，解得：．当点是【，】的金点时：方程为：，解得：．4．（2022秋•东城区校级期中）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点，以及一条线段，（1）若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“中位点”；（2）若点与点的“中位点”在线段上（点可以与点或重合），则称点与点关于线段“中位对称”．如图1，点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为，点到点的距离等于2，点到点的距离也等于2，那么点为点与点的“中位点”；点表示的数为，点表示的数为2，点与点的“中位点”在线段上，那么点与点关于线段“中位对称”．根据以上定义完成下列问题：已知：如图2，点为数轴的原点，点表示的数为，点表示的数为3．（1）①若点表示的数为，点为点与点的“中位点”，则点表示的数为 ；②若点与点的“中位点”表示的数为1，则点表示的数为 ；（2）①点，．分别表示的数为1，，6，在，，三点中，点与 关于线段“中位对称”；②点表示的数为，若点与点关于线段“中位对称”，则的取值范围是 ；③点表示的数为，点表示的数为，若线段上至少存在一点与点关于线段“中位对称”，直接写出的取值范围．【分析】（1）①根据“中位点”的定义求解；②根据“中位点”的定义列方程求解；（2）①根据“中位点”的定义进行判断；②先根据题意求出的最值，再写出取值范围；③先根据题意求出的最值，再写出取值范围．【解答】解：（1）①，故答案为：；②设表示的数为，则：，解得：，故答案为：4；（2）①，而2代表的点在上，再上，故答案为：和；②当是点与点的“中位点”时，，当点与点的“中位点”时，，故答案为：；③根据题意得：当在的左侧，与关于线段“中位对称”时，，当在的右侧，与关于线段“中位对称”时，，的取值范围为：．5．（2022秋•邓州市期中）阅读理解：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用较大数与较小数的差来表示．例如：在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；在数轴上，有理数3与对应两点之间的距离为；在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为．解决问题：如图所示，已知点表示数为，点表示的数为，点表示的数为7．（1）点和点之间的距离为 ；（2）若数轴上动点表示的数为，当点在、之间时，点和点之间的距离可表示为 ；当点在、之间时，点和点之间的距离可表示为 ；（3）若数轴上的点表示的数为，且线段的长为6，则 ；（4）、、、在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于 ．【分析】（1）由数轴上两点之间的距离公式可得答案；（2）由“两个有理数在数轴上对应的点之间的距离用较大数与较小数的差来表示”可得答案；（3）分两种情况：比大6或比小6；（4）去绝对值，再将等式相减可得答案．【解答】解：（1）点和点之间的距离为，故答案为：12；（2）当点在、之间时，点和点之间的距离可表示为，当点在、之间时，点和点之间的距离可表示为，故答案为：，；（3）或，故答案为：1或；（4）由图可知，，，，，，，，，，，．故答案为：．6．（2022秋•高青县期中）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“关联点”．（1）若点表示数，点表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中是点，的“关联点”的是 ；（2）点表示数，点表示数15，为数轴上一个动点：①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，求此时点表示的数；②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点表示的数．【分析】（1）根据新定义内容，结合数轴上两点间距离公式求解；（2）①根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解；②根据新定义内容，结合方程思想及分类讨论思想求解．【解答】解：（1），，，是点，的“关联点”；，，，不是点，的“关联点”；，，，是点，的“关联点”；，，，不是点，的“关联点”；故答案为：，；（2）设点在数轴上表示的数为．①在点左侧，则：（Ⅰ）当点在之间时，，解得：；或，解得：；（Ⅱ）当点在点左侧时，，当点在点左侧时，点表示的数为或或；②点在点右侧，则：（Ⅰ）当点为点，的“关联点”时，，解得：；（Ⅱ）当点为点，的“关联点”时，，解得：；或，解得：；（Ⅲ）当点为点，的“关联点”时，，解得：，点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点表示的数为40或65或27.5．7．（2022秋•如皋市期中）定义：在数轴上，若，两点到原点的距离之和等于点到原点的距离，则称点为，两点的“和距点”．例如，数轴上，表示5的点是表示2，3的点的“和距点”；表示的点是表示，的点的“和距点”．已知数轴上，，三点表示的数分别是，，，点为，两点的“和距点”．（1）如果，点在轴的正半轴，则 ；（2）若点也是，两点的“和距点”，请确定的值，并说明理由；（3）若，请直接写出的值．【分析】（1）根据“和距点”的定义求解；（2）根据“和距点”的定义列方法组求解；（3）根据的取值范围分类讨论求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，，，故答案为：3；（2）由题意得：，且，解得：；（3）由题意得：，当时，，解得：，当时，，解得：（舍去），当时，，解得：．8．（2022秋•吴兴区期中）【新知理解】点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点“伴侣线段．例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”．（1）若点为图1中线段的“优点”，则 ；（2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点，则 （填“”或“”【解决问题】如图2，数轴上有一点表示的数为1，向右平移3个单位到达点；（3）若不同的两点，都在线段上，且，均为线段的“优点”，求线段的长；（4）如图2，若点在射线上，且线段与以，，中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点表示的数（写出所有可能）．【分析】（1）由即可求解；（2）利用“优点”定义求出即可；（3）分两种情况讨论，第一是点在左侧，第二是点在右侧，再由“优点”定义求解即可；（4）分为两种情况，一是点在线段中间，可得出或，二是点在线段右侧，可得出或，求解即可．【解答】解：（1）点为线段的“优点”，，，，，故答案为：18．（2）如图，点是线段的“优点”，，，，，，故答案为：．（3）点表示的数为1，向右平移3个单位到达点，点表示的数为4，，当点在点左侧时，则：，，，，，当点在点右侧时，则：，，，，，综上，线段的长为．（4）点表示的数为1，点表示的数为4，，①线段，互为“优点“伴侣线段时，有或，当时，，，点表示的数为3，当时，，，点表示的数为2，②线段，互为“优点“伴侣线段时，有或，当时，，点表示的数为5.5，当时，，点表示的数为10，综上，点表示的数为2或3或5.5或10．9．（2022秋•工业园区校级期中）已知数轴上两点、，其中表示的数为，表示的数为3，若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点、的“节点”．例如，若点表示的数为0，有，则称点为点、的“6节点”．（题中表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离）请根据上述规定回答下列问题：（1）若点为点、的“节点”，且点在数轴上表示的数为4，则 ；（2）若点是数轴上点、的“9节点”，请你直接写出点表示的数为 ；（3）若点在数轴上（不与、重合），满足、之间的距离是、之间距离的两倍，且此时点为点、的“节点”，求出的值．【分析】（1）根据新定义“节点”的概念即可得到答案；（2）设点是数轴上表示的数为，根据点是数轴上点、的“9节点”列出方程，分情况解答即可；（3）设点表示的数为，需要分类讨论：①当点在点右侧时；②当点在点和点之间时；③当点在点左侧时；根据，先求