冲刺2024年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.（2022•新高考Ⅰ）若集合，，则 A． B． C． D．【答案】【解析】由，得，，由，得，，．故选：．2.（2023全国乙卷数学（理））设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，则.故选：B.3．（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是 A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】【解析】相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，花瓣长度和花萼长度呈正相关．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．故选：．4.（2023•天津）“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】，即，解得或，，即，解得，故“”不能推出“”，充分性不成立，“”能推出“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：．5.（2023全国甲卷数学（理））4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ）A．120 B．60 C．40 D．30【答案】B【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选：B.6.（2023全国乙卷数学（文）（理））已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.7.（2023全国甲卷数学（文））在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【详解】取中点，连接，如图，  是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A8.（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则 A． B． C．0 D．1【答案】【解析】令，则，即，，，，则，的周期为6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故选：．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（2020新课标全国Ⅰ卷）已知曲线.（    ）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.10．（2023新课标全国Ⅱ卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确.故选：ABD11．（2023新课标全国Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，  显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ．【答案】．【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，，，则13.（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】．【解析】的通项公式为，当时，，当时，，的展开式中的系数为．14.（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ，数列的所有项的和为．【答案】48；384．【解析】数列的后7项成等比数列，，，，公比．，又该数列的前3项成等差数列，数列的所有项的和为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（本小题满分13分）（2021•新高考Ⅱ）在中，角，，所对的边长为，，，，．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（1），根据正弦定理可得，，，，，，在中，运用余弦定理可得，，，．（2），为钝角三角形时，角必为钝角，，，，，三角形的任意两边之和大于第三边，，即，即，，为正整数，．16．（本小题满分15分）（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：，2，，，0，，，2，，，0，，，，，又，，，四点不共线，；（2）在（1）的坐标系下，可设，2，，，，又由（1）知，0，，，2，，，0，，，，，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，根据题意可得，，，，又，，解得或，为的中点或的中点，．17．（本小题满分15分）（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为，由题意得；（2）由题意设为第次投篮的是甲，则，，又，则是首项为，公比为0.4的等比数列，，即，第次投篮的人是甲的概率为；（3）由（2）得，由题意得甲第次投篮次数服从两点分布，且，，当时，；当时，，综上所述，，．18．（本小题满分17分）（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．【解析】（1）双曲线中心为原点，左焦点为，，离心率为，则，解得，故双曲线的方程为；（2）证明：过点的直线与的左支交于，两点，则可设直线的方程为，，，，，记的左，右顶点分别为，，则，，联立，化简整理可得，，故△且，，，直线的方程为，直线方程，故，故，解得，所以，故点在定直线上运动．19．（本小题满分17分）（2022•甲卷（理））已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则．【解析】（1）的定义域为，，令，解得，故函数在单调递减，单调递增，故（1），要使得恒成立，仅需，故，故的取值范围是，；（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，不妨设，要证明，即证明，，，即证明：，又因为在单调递增，即证明：，构造函数，，，构造函数，，因为，所以，故在恒成立，故在单调递增，故（1）又因为，故在恒成立，故在单调递增，又因为（1），故（1），故，即．得证．