浦东新区2023学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合A0,1,2，集合Bx2x3，则ABI．【答案】：22.若复数z12i（i是虚数单位），则zzz．【答案】：42i3.已知等差数列an满足a1a612，a47，则a3．【答案】：552144.3x的二项展开式中x项的系数为．（用数值回答）x【答案】：2705.已知随机变量X服从正态分布N95,2，若PX(75115)0.4，则PX(115)．【答案】：0.3286.已知yfx是奇函数，当x0时，3，则f的值是．f()xx125【答案】：4257.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6:3:1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为．【答案】：0.18222228.已知圆C1:xy2axa10（a0），圆C2:xy4y50，若两圆相交，则实数a的取值范围为．【答案】：(0,23)9.已知f(x)2xx，则不等式f(|2x3|)3的解集为．【答案】：(1,2)10.如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱．光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心．当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为．13【答案】：2x2y2211.已知双曲线1(a0,b0)的焦点分别为F1、F2，M为双曲线上一点，若FMF，a2b212321OMb，则双曲线的离心率为．3【答案】：6212.正三棱锥SABC中，底面边长AB2，侧棱AS3，向量a，b满足a()aACaAB，b()bACbAS，则ab的最大值为．【答案】：4二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13.“a1”是“直线ax2y20与直线xa1y10平行”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】：C14.已知aR，则下列结论不恒成立的是（）．111A.a(1a)B.a2C.|a1||a2|3D.sina04a2sina【答案】：B15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点A后，下列说法正确的是（）．A.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关B.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大D.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小【答案】：Dmm116.设fxaxax0mm1Laxaa10(m0,m10，mZ)，记fnxfn1x(n1,2,L,m1)，令有穷数列bn为fnx零点的个数n1,2,L,m1，则有以下两个结论：①存在f0x，使得bn为常数列；②存在f0x，使得bn为公差不为零的等差数列．那么（）．A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①②都正确D.①②都错误【答案】：C三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数yfx，其中fxsinx．π3（1）求fx在x0,π上的解；42π1π（2）已知g(x)3f(x)fxfxfxπ，若关于x的方程gxm在x0,时有解，222求实数m的取值范围．7111【答案】：（1）、；（2）,1.121223【详解】：（1）由题，原式等价于求sinx在x0,上的解.42从而有或2，解得7或11x2kx2k,kZx2kx2k,kZ43431212711又x0,，所以x或x.1212π3711所以fx在x0,π上的解为、.421212π（2）由题，gx3sinsinxxsinsinxxπ23sinxcosxsin2x31cos2xsin2x22π1sin2x621π故g()xm在x0,时有解22ππ等价于msin2x在x0,时有解.62ππ5ππ1可知2x,,因而sin2x,1666621所以，实数m的取值范围是,1.218．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，平面PAD底面ABCD，其中AD//BC，AD2BC4，AB3,PAPD23，点E为PD中点．（1）证明：EC//平面PAB；（2）求二面角PABD的大小．2【答案】：（1）证明见详解；（2）arccos13.13【详解】：解法1：（1）证明：取PA中点F，连接BF,EF，在△PAD中，点E为PD的中点、点F为PA的中点，1所以EF∥AD，EFAD.21又BC∥AD,BCAD.2因此EF∥BC，EFBC.所以，四边形BCEF为平行四边形.得EC∥FB，又FB平面PAB，而EC在平面PAB外，所以，EC∥平面PAB.（2）取AD中点H，过P作PGAB，垂足为G，连接GH由题，PAPD23，H为AD的中点，所以PHAD.又平面PAD底面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，且PH平面PAD，因而PH平面ABCD,故PHAB,PHGH.又PGAB，故AB平面PGH.得ABGH.又PGAB，所PGH就是二面角PABD的平面角.经计算，在△PAD中，PH22；1在△ABH中，BHAB3，AH2，故S22222ABH2114又SABGH3GH,得GH2.ABH223PH3因而，在△PGH中,tanPGHGH23所以二面角PABD的大小arctan.2解法2：（1）取AD中点O，因为PAPD23，O为AD中点，所以POAD.又平面PAD底面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.取BC中点M，显然，OMOD.如图，以点O为坐标原点，分别以射线OM、OD、OP为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.uuur由题意得，E0,1,2、C22,1,0，故EC22,0,2.又P0,0,22、A0,2,0、B22,1,0，uuuruuur故AP0,2,22，AB22,1,0.r2v22w0设平面PAB的法向量nu,,vw，则有22uv0r不妨取u1，则v22，2,即n1,22,2.ruuurruuur经计算得nEC0，故nEC.又EC在平面PAB外，所以EC∥平面PAB.uruur（2）由题（1）知，平面的法向量n1,22,2，平面的法向量，，PAB1ABCDn200,1uruururuurn1n22213从而cosn1,n2uruur,13113n1n22因此，二面角PABD的大小为arccos13.1319．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：0,200，200,400，400,600，…，1000,1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；1方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响．中奖1次当天消3费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折．若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由．【答案】：（1）405人；（2）3；（3）选择第二种促销方，理由见详解.5【详解】：（1）我们利用通过抽样获得的100名客户的样本信息来估计总体的分布情况可得：3人.135040510（2）当日消费金额在800,1000和1000,1200（单位：元）的人数所占比例为0.00100:0.000502:1，所以抽取的6人中有2人消费金额在1000,1200（单位：元），有4人消费金额在800,1000（单位：元）.CCC1123记“抽到的人中至少1人消费额不少于元”为事件，则PA42+2=，21000A22C6C653所以抽到的2人中至少1人消费金额不少于1000元的概率为.5（3）若选方案一，只需付款1000503850元；若选方案二，设付款金额为X元，则X可分别取300、600、900、1000元，其中101313，PX300C313327111222，PX600C31339121141，PX900C31339131080，PX1000C3133271248所以EX=3006009001000840.7元，279927因为850840.7，所以应选择第二种促销方案.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．x2已知椭圆C:y21，点F、F分别为椭圆的左、右焦点．212（1）若椭圆上点P满足PF2F1F2，求PF1的值；（2）点A为椭圆的右顶点，定点Tt,0在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当ST取得最小值时点S恰与点A重合，求实数t的取值范围；（3）已知m为常数，过点F2且法向量为1,m的直线l交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足uuuruuuruuurOROMON（,R），求的最大值．322m22【答案】：（1）；（2）,；（3）.22412【详解】：（1）由题得，F(1,0)，设点P(1,y)，代入椭圆方程，得y2，因而PF.2PP22232由PFPF22，得PF.1212222xx1（2）设动点S(,)xy，则ST(xt)2y2x22txt212txt21(x2t)21t22221由题，ST取得最小值时点S恰与点A重