2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知样本数据的平均数和标准差均为4，则的方差为16，则的平均数为，方差为，故的平均数为，方差，故选：B2．已知向量，，，则向量在向量上的投影向量的模长为（    ）A．6 B．3 C．2 D．【答案】C【详解】因为，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以向量在向量上的投影向量的模的值为，故选：C.3．已知在等比数列中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在等比数列中，，所以，解得，又，解得，设等比数列的公比为，则，所以，所以.故选：B．4．已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（    ）A．7 B．8 C． D．10【答案】C【详解】因为球的体积为，所以球的半径满足，可得；又，因此，即，此时；设点到平面的距离为，则，可得，因为在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为，当与平面平行时，有最大值；设球心到平面的距离为，而的外心即为的中点，外接圆的半径为，则，故球心到平面的距离为，可知截面圆半径为；设在平面上的射影为，则的轨迹为圆，如下图所示：  设该圆圆心为，则当三点共线时且点在中间时，最长，此时，故线段长度的最大值为.故选：C5．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（    ）A．60种 B．68种 C．82种 D．108种【答案】D【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有种方法，且不同颜色数有种，所以这排电子元件能表示的信息种数共有种.故选：D6．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，，，，所以，故选：A.7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（    ）A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.15【答案】D【详解】由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以，故选：D.8．已知双曲线与抛物线，抛物线的准线过双曲线的焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，则双曲线的离心率等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设双曲线的焦距为，抛物线的准线过双曲线的焦点，，又到的距离，即，，，，则，，得，过作轴，则，故，因此由于在抛物线上，所以即，，故，故．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（    ）A．若复数（为虚数单位），则B．若复数满足，则C．若，则或D．若复数满足，则复数对应点的集合是以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆【答案】ABC【详解】解：复数，因为，所以，故选项A正确；设，若复数满足，则，即，所以，故选项B正确；设，，则．因为，且，所以．若，则，所以或，故选项C正确；由复数满足，则复数对应点的集合是一条线段，故选项D错误．故选：ABC10．设直线系（其中0，m，n均为参数，，），则下列命题中是真命题的是（    ）A．当，时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切B．存在m，n，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限C．当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为D．当，时，若存在一点，使其到直线系M中所有直线的距离不小于1，则【答案】ABD【详解】A选项，当，时，，设圆为，则圆心到直线的距离，故与总相切，A正确；B选项，当时，，由于，故直线恒过，若时，直线为，若时，直线的斜率为，故直线不过第三象限，所以存在m，n，使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B正确；C选项，当时，，坐标原点到直线系M的距离为，当当时，，坐标原点到直线系M的距离为其中，故，C错误.D选项，当，时，，点到直线系M中所有直线的距离，化简得恒成立，由于，若，解得，当时，，不合要求，舍去，当时，，满足要求，若，即或，此时的最小值为0，则，解得，故此时，若，即，此时的最小值为，则，解得或，故此时，综上，，D正确.故选：ABD11．如图所示，一个圆锥的底面是一个半径为的圆，为直径，且，点为圆上一动点（异于，两点），则下列结论正确的是（    ）A．的取值范围是B．二面角的平面角的取值范围是C．点到平面的距离最大值为D．点为线段上的一动点，当时，【答案】BD【详解】由已知，，且，在中，由余弦定理可知，，即，解得，则A选项：点为圆上一动点（异于，两点），则，在中，，所以，所以，A选项错误；B选项：取中点，连接，，则，，且，，则二面角的平面角为，所以，所以，B选项正确；C选项：由已知，又，则三棱锥的体积，设点点到平面的距离为，则，则，C选项错误；D选项：当时，，，则为等腰直角三角形，为等边三角形，将平面绕至，使与共面，如图所示，则，在中，，由余弦定理可知，所以，D选项正确；故选：BD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合，，若，则实数的取值范围是．【答案】【详解】集合，又，且，故可得，即，解得.故答案为：.13．已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为的中点，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【详解】解法一  连接，，记，则.连接，，则，故为外接圆的圆心.取的中点，连接，则，所以点在的外接圆上．连接，因为为等边三角形，所以，.由平面平面，知平面平面，又平面平面，平面，所以平面.设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球的表面积为.  解法二  连接，，则为正三角形，，故，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，  得，，，，，，由为等边三角形，则的外接圆圆心为.设三棱锥的外接球的球心为，连接，，，则平面，又平面，所以.设，由，可得，解得，因此球心，故外接球半径，故三棱锥的外接球的表面积.故答案为：14．已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是.【答案】【详解】因为对任意，且当时恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以恒成立①，令，由①式可得，所以在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又，当且仅当，即时取等号，.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，其中，且.(1)求c的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），，，解得，.（2）由余弦定理可得，又，，.（3）因为，所以.16．（15分）如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.(1)证明：平面；(2)设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.【答案】(1)详见解析(2)【详解】（1）解：因为，，，所以，由射影定理得，所以，由余弦定理得，所以，则，即，又因为，，所以平面；（2）因为点为边的中点，所以，又，所以，因为平面，所以平面平面，所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，因为为定值，当h最大时，所以三棱锥的体积最大，而，则，当h=1时，.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.参考数据：.【答案】(1)；(2)；(3)30.【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率.（2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心，则，由全概率公式得.故丁周日选择健身中心健身的概率为.（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则，设抽取次数为，则的分布列为123故，又，两式相减得，所以，而在时单调递增，可知当时，；当时，；当时，.若抽取次数的期望值不超过23，则的最大值为30.18．（17分）已知椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，四边形的面积为，若椭圆上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与交于（异于）两点，设直线与直线交于点，证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设右焦点坐标为，椭圆上的一点，则，故，即，则到右焦点的距离，因为，所以，，故，即椭圆上的点到右焦点距离的最大值为，最小值为，故，解得，又四边形的面积为，故，所以，椭圆方程为；（2）当过点且斜率不存在时，直线方程为，中，令得，，不妨设，直线，即，同理可得，联立得，，故点在直线上，当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程设为，联立得，设，则，两式相除得，直线，直线，联立得，，故，解得，将代入上式中，得，要想恒成立，则，故点在定直线上，综上，点在定直线上.19．（17分）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集，求证：；(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.【答案】(1)集合是理想数集，集合不是理想数集(2)证明见解析(3)1024144【详解】（1）设的随影数集分别为，则，所以集合是理想数集，集合不是理想数集.（2）不妨设集合且，即