机密★启用前海口市2024届高三年级调研考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件3.设，m是两条直线，，是两个平面，则（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则4.已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（）A. B. C.7 D.55.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（）A.72 B.96 C.144 D.2406.已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C.2 D.-27.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（）A. B. C. D.-28.已知是双曲线：的右焦点，直线与C交于A，B两点.若的周长为，则C的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法正确的是（）A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于aB.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于bC.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于cD.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A. B.的图象关于点中心对称C. D.在上的值域为11.已知为正项数列的前项和，，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合，，若，则的取值范围是_________.13.已知圆：，点P在直线：上，过点P作的两条切线，切点分别为A，B.当最大时，___________.14.在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为.若存在一个球与该正三棱台的每个面都相切，则此正三棱台的体积为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值.17.（15分）已知摊物线：的准线与轴的交点为，的焦点为F.经过点E的直线与分别交于A，B两点.（1）设直线，的斜率分别为，，证明：；（2）记与的面积分别为，，若，求.18.（17分）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立，（1）时，判断与20的大小，并说明理由；（2）时，求的概率分布列和数学期望；（3）记的概率为，求的表达式.19.（17分已知函数，等差数列的前项和为，记.（1）求证：的图象关于点中心对称；（2）若，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；（3）若，求证：.反之是否成立?并请说明理由.机密启用前海口市2024届高三年级调研考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分。题号12345678答案DBBACCBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。第9、11题每个正确选项2分；第10题每个正确选项3分。题号91011答案ABDACABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.13.14.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）解：（1）的定义域为，当时，，所以在，上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）由，得.设，则.令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值.所以.16.（15分）（1）证：因为四边形是正方形，所以.因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，，，所以平面.（2）解：由（1）知，为直线与平面所成的角，即正方形的边长为2，所以，，所以.（方法一）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连结.因为平面，平面，所以，又平面，，所以平面.所以是在平面内的射影，所以由三垂线定可知，，所以是二面角的平面角.在直角中，，，所以，所以，即二面角的余弦值为.（方法二）取的中点，连结.因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.取的中点，则，以，为基底，建立空间直角坐标系.所以，，，所以，.设平面的法向量为，则即取.取平面的法向量，设二面角的大小为，则.因为二面角为锐角，所以，即二面角的余弦值为.17.（15分）解：（1）因为抛物线C的准线与x轴的交点为，所以，即，所以的方程为.显然直线的斜率存在且不为0.设直线：，，，将直线方程与抛物线方程联立并消去，得.所以，，所以.（2）不妨设，.因为，.又，解得，.所以，所以.18.（17分）解：（1）.理由如下：记该同学投篮30次投进次数为，则.若每次投进得分都为1分，则得分的期望为.由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，故实际总得分必大于每次得分固定为1分的数学期望.所以.（2）X的可能取值为：0，1，2，3，7，且；；；；.所以，的概率分布列为01237所以.（3）投篮次得分为3分，有两种可能的情况：情形一，恰好两次投进，且两次相邻；情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻.当时，情形二不可能发生，故.当时，情形一发生的概率为，情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位，选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为，所以.综上，19.（17分）解：（1）设的图象上任意一点，则，点关于点，的对称点为.因为，所以点，在的图象上，所以的图象关于点中心对称.（2）若，，是某三角形的三个内角，则，又是等差数列，所以.所以.不妨设，则，所以，所以，所以.（3）因为是等差数列，且，所以当时，，所以..所以，若，则成立.反之不成立.考虑存在等差数列，满足，则，所以.下面证明，存在，可以使得，且.不妨设，因为，所以..设，其中，因为，，所以存在，使得，所以存在，使得，即，但此时.所以反之不成立.