秘密★启用前眉山市高中2024届第三次诊断性考试数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设全集，集合，则（）A.B.C.D.3.采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：根据该折线图判断，下列结论正确的是（）A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于B.2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张C.2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差4.已知向量满足，且，则（）A.B.C.D.5.的展开式中的系数为（）A.20B.10C.-10D.-206.已知，则（）A.B.C.D.7.设为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（）A.B.C.2D.48.如图，该组合体由一个正四棱柱和一个正四棱锥组合而成，已知，则（）A.平面B.平面C.平面D.平面9.四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（）A.B.C.D.10.给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（）A.①②③B.②③C.①③D.②11.已知双曲线的左，右焦点分别为.点在上，点在轴上，，则的离心率为（）A.B.C.D.12.若关于的不等式恒成立，则的最大值为（）A.B.C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件，则的最小值为__________.14.已知的三边长，则的面积为__________.15.若为奇函数，则__________.（填写符合要求的一个值）16.已知球的半径为3，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，其半径分别为，若，两圆的公共弦的中点为，则__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润（单位：亿元）与年份代码共5组数据（其中年份代码分别指2019年，2020年，年），并得到如下值：（1）若用线性回归模型拟合变量与的相关关系，计算该样本相关系数，并判断变量与的相关程度（精确到0.01）；（2）求变量关于的线性回归方程，并求2024年利润的预报值.附：①；②若，相关程度很强；，相关程度一般；，相关程度较弱；③一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；相关系数18.（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若__________，求数列的前项和.从①②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）如图，在多面体中，四边形为菱形，平面平面，平面平面是等腰直角三角形，且.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.20.（12分）已知椭圆的离心率是，左､右顶点分别为，过线段上的点的直线与交于两点，且与的面积比为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点.证明：点在定直线上.21.（12分）已知函数.（1）若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；（2）若有两个不同极值点.①求的取值范围；②当时，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，的圆心为，半径为2，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）过点的直线交于两点，求的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）若对任意，使得恒成立，求的取值范围；（2）令的最小值为.若正数满足，求证：.理科数学参考解答及评分参考一､选择题1.【答案】B【解析】由，对应的点位于第二象限，选择B.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法运算，复数的几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想；考查数学运算､直观想象等数学核心素养.2.【答案】D【解析】由，选项错误；，选项错误；，选项C错误；因为，所以，所以选项D正确.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集与并集，补集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算等数学核心素养.3.【答案】B【解析】根据图表可知，各月PMI的中位数小于，A错误；2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，B正确；2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误.【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养.4.【答案】A【解析】由题意得，则有，解得，又由，则有，解得，同理可得，所以，所以.注：本小题也可以利用向量线性运算的几何意义，利用数形结合思想求解.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的坐标运算，数量积，夹角公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，数学建模（可构造三角形或取特值解答）思想；考查数学运算､直观想象､数学建模等数学核心素养.5.【答案】C【解析】因为，相加的两项二项式展开后的通项分别为与，所以的系数为.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计二项式展开式的通项问题，主要考查二项式展开式特定项的系数等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，数学运算等数学核心素养.6.【答案】A【解析】因为，所以，有，所以.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换求值问题，主要考查同角三角函数关系，两角和的正弦公式，三角函数符号确定等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，数学运算等数学核心素养.7.【答案】C【解析】设，直线的方程为：，联立方程得，，故，从而-4，即，故选C.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与抛物线交点问题，主要考查直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，抛物线性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.8.【答案】C【解析】如图，因为，在平面中有，所以平面不平行于平面；同理不平行于平面；易得，，所以，又，所以平面.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题，主要考查空间线面平行，线面垂直的判断等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力；考查逻辑推理，直观想象等数学核心素养.9.【答案】C【解析】.【命题意图】本小题设置实践应用情境，主要考查计数原理､分组排列､组合､古典概型等基础知识，考查分类与整合等数学思想，考查逻辑推理，数学建模等数学核心素养.10.【答案】B【解析】对于①由，最小正周期为，结论①不正确；对于②，由，有，此时在区间单调递增，结论②正确；对于③，，对称轴由确定，当时，，结论③正确.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数图象性质问题，主要考查含绝对值的余弦函数图象，降幂公式，余弦函数的最小正周期，单调区间，图象的轴对称等基础知识；考查逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，推理论证等数学核心素养.11.【答案】A【解析】设，则，由于关于轴对称，故，又因为，所以，所以，所以，故选A.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计双曲线焦点弦问题，主要考查双曲线的方程与性质，双曲线焦点弦，离心率等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.12.【答案】C【解析】依题意，，不等式化为.设，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，在处取得极大值，也即最大值.又时，.由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，再令，可得，且当直线与在点处相切时，横截距取得最大值.此时，切线方程为，所以取得最大值为.【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查导数的应用等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､逻辑推理､数学运算､直观想象等数学核心素养.二､填空题13.【答案】-6【解析】作出约束条件表示的可行域为以三点为顶点的及其内部，作出直线并平移，当直线经过点时，在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计简单的线性规划问题，主要考查不等式组的解法，约束条件表示的可行域，直线平移及几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想；考查数学运算､逻辑推理､直观想象等数学核心素养.14.【答案【解析】由余弦定理有，所以，所以的面积.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查余弦定理，同角间的三角函数关系，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，应用意识；考查数学运算､逻辑推理､直观想象等数学核心素养.15.【答案】，填写符合的一个值即可.【解析】依题意，，当为奇函数，此时，则，故填等等.【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查函数奇偶性等基本性质､简单的三角变换等基础知识，考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.16.【答案】1【解析】如图，设，则在中，，在中，，在中，，联立得，所以在中，，所以.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计球与截面问题，主要考查平面与球相截，空间线面位置关系，球内三角形，矩形的性质，勾股定理等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，方程思想等基础知识；考查数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学核心素养.三､解答题17.【解析】（1）依题意，，，则，则，故变量与的相关程度很强.（2）令变量与的线性回归方程为.，所以，所以，变量关于的回归方程为.2024年，即时，（亿元）.所以，该公司2024年利润的预报值为78（亿元）.【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查统计基本思想以及抽象概括､数据处理等能力和应用意识；考查数学运算､数学建模等数学核心素养.18.【解析】（1）由，当时，，得，当时，，整理得，，又，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以.（2）若选①，由（1）可得，，所以，，两式相减得，所以.若选②，由（1）可得，.若选③，由（1）可得，.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计结构性不良的数列问题，主要考查数列的前项和与通项公式，等比数列的性质，错位相减法求数列的和等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.19.【解析】（1）如图，取的中点，连接.因为，平面平面，平面平面，所以平面.同理