2024年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）数学本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则A． B． C． D．2.若幂函数在上单调递增，则实数的值为A． B． C． D．3.下列说法正确的是A．数据的下四分位数是7B．已知随机变量，若，则C．若随机变量满足，则D．若随机事件,满足，则4.记为等差数列的前项和，若，则使成立的最大正整数的值为A． B． C． D．5.已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积与球的体积之比为A． B． C． D．6．一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下列结论不正确的是A． B．C． D．7．已知为锐角，，，则A． B． C． D．8．已知定义在R上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，下列结论正确的有A．B．若，则C．若，则D．若，，则为纯虚数10．已知，且，则下列结论成立的是A． B．C．存在使得 D．11．在棱长为1的正方体中，若点P为四边形内（包括边界）的动点，N为平面ABCD内的动点，则下列说法正确的是A．若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为B．若直线与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线C．若，则点的轨迹长度为D．若正方体以直线为轴，旋转后与其自身重合，则的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若向量在向量上的投影向量为，且，则________.13．如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边；接着画正五边形，对这个正五边形，不画第五边；接着画正六边形，，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设线段与线段所夹的角为，则_______，满足的最小值为．在△中，是边上一点，，若，且△的面积为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.13分已知函数．(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围．16.（15分）已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个条件：①；②；③平面．(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；(2)在(1)的条件下，若，当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．17.（15分）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.(1)求动点的轨迹的方程.(2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．18.（17分）甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；(3)设，求证：19.(17分)若集合的非空子集满足:对任意给定的,若,有,则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记|X|表示集合X的元素个数.（1）求的值;（2）若是的好子集,且.证明:中元素可以排成一个等差数列;（3）求的值.