黄金冲刺大题07新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）1．（2024·辽宁·二模）已知数列的各项是奇数，且是正整数的最大奇因数，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求数列的通项公式.2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;(3)已知数列，求证:.3．（2024·广西·二模）已知函数，若存在恒成立，则称是的一个“下界函数”．(1)如果函数为的一个“下界函数”，求实数的取值范围；(2)设函数，试问函数是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；(2)对于正整数时，是否有成立？(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.5．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则．(1)求和（用表示）；(2)令，证明：；(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．6．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”.(1)判断是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.7．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．(1)若，求其生成数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．8．（2024·浙江绍兴·二模）已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)设，，且，求的值；(3)记，，若集合中的元素个数为，求.9．（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．(1)已知数列满足，．（ⅰ）求，，；（ⅱ）证明：是一阶等比数列；(2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．10．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.(1)求函数的不动点;(2)若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围.11．（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；(2)若，讨论集合的子集的个数．12．（2024·山东聊城·二模）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知．(1)设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间；(2)设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围．13．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．(3)证明：当时，有．14．（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．(1)计算点和点之间的“距离”；(2)设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；(3)证明：对任意点．15．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．(1)写出这个数列的前7项；(2)如果且，求m，n的值；(3)记，，求一个正整数n，满足．16．（2024·湖南邵阳·模拟预测）对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界．(1)若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；(2)若，证明：存在宽度为2的通道；(3)探究是否存在宽度为的通道？并说明理由．17．（2024·福建福州·模拟预测）记集合，集合，若，则称直线为函数在上的“最佳上界线”；若，则称直线为函数在上的“最佳下界线”．(1)已知函数，．若，求的值；(2)已知．（ⅰ）证明：直线是曲线的一条切线的充要条件是直线是函数在上的“最佳下界线”；（ⅱ）若，直接写出集合中元素的个数（无需证明）．18．（2024·辽宁·二模）如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．(1)若，求的值；(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）19．（2024·辽宁大连·一模）对于数列，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：(2)若不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．20．（2024·湖南·一模）已知为非零常数，，若对，则称数列为数列．(1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设，若为数列，证明：；(3)若为数列，证明：，使得．21．（2023·山西·模拟预测）对于数列，若存在，使得对任意，总有，则称为“有界变差数列”．(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列，求其公比q的取值范围；(2)若数列满足，且，证明：是有界变差数列；(3)若，均为有界变差数列，且，证明：是有界变差数列．22．（2024·江西九江·二模）定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.23．（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此.(1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由；(2)证明：①；②.24．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.(1)写出，并求；(2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；(3)若2024是数列中的某一项，求及的值.25．（2024·广西·二模）设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，取整函数是德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：①的定义域为R，值域为Z；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分；③；④若整数a，b满足，则.(1)解方程；(2)已知实数r满足，求的值；(3)证明：对于任意的大于等于3的正整数n，均有．26．（2024·河北石家庄·二模）设集合是一个非空数集，对任意，定义，称为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为.定义1：若是度量空间上的一个函数，且存在，使得对任意，均有：，则称是度量空间上的一个“压缩函数”.定义2：记无穷数列为，若是度量空间上的数列，且对任意正实数，都存在一个正整数，使得对任意正整数，均有，则称是度量空间上的一个“基本数列”.(1)设，证明：是度量空间上的一个“压缩函数”；(2)已知是度量空间上的一个压缩函数，且，定义，，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.27．（2024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），(1)求和；(2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；(3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值．28．（2024·江西宜春·模拟预测）定义：设和均为定义在上的函数，其导函数分别为，，若不等式对任意恒成立，则称和为区间上的“友好函数”．(1)若和是“友好函数”，求的取值范围；(2)给出两组函数：①，；②，，分别判断这两组函数是否为上的“友好函数”．29．（2024·海南省直辖县级单位·一模）若有穷数列（是正整数），满足（，且，就称该数列为“数列”.(1)已知数列是项数为7的数列，且成等比数列，，试写出的每一项；(2)已知是项数为的数列，且构成首项为100，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求这些数列的前2024项和.30．（2024·江苏南京·二模）已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.(1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．