椭圆必会十大基本题型讲与练求椭圆的标准方程典例分析类型一、待定系数法第一步，做判断，根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能，（这时需要分类讨论）。第二步，设方程，根据上述判断，设方程为或。第三步，找关系，根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系，第四步，得方程，由上一步所得方程组求得出a,b,c，将解代入所设方程，即得所求。1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】看问题：求椭圆的方程（属于轨迹方程问题）想方法：求轨迹方程基本方法：（1）待定系数法：已知曲线类型用此法；（2）定义法；（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。看条件：是椭圆上的一点，想定义想坐标，椭圆的长轴长是焦距的倍，则，注意定措施：用待定系数法，即利用条件建立方程组去求a,b,c.，从而可得得椭圆方程．【详解】由题意，解得，所以椭圆方程为．2.椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】由椭圆的定义知,则的周长为,所以,所以椭圆的方程为.不妨设点在第一象限,则由,均是线段的三等分点,得是线段的中点,又,所以点的横坐标为,由,得,所以,所以,.把点的坐标代入椭圆方程得,即,化简得,又,所以,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.3．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得的坐标，利用点差法建立的关系式，由此求得，进而求得椭圆方程.【详解】直线过点，令则，所以，即.设，则，两式相减并化简得，所以，，所以椭圆的方程为.4．已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为____________．【答案】eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.．【解析】由题意，设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，如图，连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，则|F1F2|＝eq\r(3)m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝eq\f(1,2)·|BF1|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×m×eq\r(3)m＝eq\f(2\r(3),3)，解得m＝eq\f(2\r(3),3)，又由2c＝|F1F2|＝eq\r(3)m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2eq\r(3)，解得c＝1，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2)，则椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故选C.类型二、巧设方程法1．过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1【答案】A【解析】由题意知c2＝5，可设椭圆方程为eq\f(x2,λ＋5)＋eq\f(y2,λ)＝1(λ>0)，则eq\f(9,λ＋5)＋eq\f(4,λ)＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.2．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（）A． B．或C． D．以上都不对【答案】A【分析】设经过两点和点的椭圆标准方程为，利用待定系数法能求出椭圆方程．【详解】设经过两点和点的椭圆标准方程为，代入A、B得，，解得，∴所求椭圆方程为．类型三、定义法1．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)【答案】B【分析】看问题：求顶点A的轨迹方程（属于轨迹方程问题）想方法：求轨迹方程基本方法：（1）待定系数法：已知曲线类型用此法；（2）定义法；（3）代入法（相关点法）；（4）直译法（直接法）；（5）参数法。看条件：△ABC的周长为20，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，则|BC|＝8，定措施：由已知得|AB|＋|AC|＝12＞8，符合椭圆的定义，故用定义法，．【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)．2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.【详解】因动点满足关系式，则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，所以动点M的轨迹方程为.3．若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．【答案】【分析】根据题意可得，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，去除不符合题意的点，进而可得点的轨迹方程.【详解】因为的两个顶点，，所以，因为三角形周长为，即，所以，由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，所以，，，可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，所以顶点的轨迹方程是：，方法点拨1．求椭圆标准方程的2种常用方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程（2）待定系数法（先定位，在定量）：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，(2)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．(3)与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq\f(x2,m＋k)＋eq\f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．(4)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．巩固练习夯实基础1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则椭圆C的方程为( )A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1【答案】A【解析】由题意及椭圆的定义知4a＝4eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.2．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，设它的标准方程为(a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又点(，－)在所求椭圆上，即，联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，所以所求椭圆的标准方程为.3、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设椭圆的标准方程为.把代入,得,即.∵过焦点且垂直于轴的弦长为,∴,由,可得∴所求椭圆的标准方程为.4．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为( )A.eq\f(y2,25)＋x2＝1 B.eq\f(x2,25)＋y2＝1C.eq\f(x2,25)＋y2＝1或eq\f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对【答案】A【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25)，))∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,25)＋x2＝1.5．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题中所给结论得，由的周长为16结合椭圆定义得，进而可得结果.【详解】依题意得，则，由的周长为16结合椭圆定义可得，所以，，又椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.6．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，可得右焦点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的中点的坐标，由直线的斜率可得，的关系，再由椭圆中，，的关系求出，的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线中，令，可得，所以右焦点，，设，，，，则，的中点，联立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以椭圆的方程为，7．阿基米德（公元前年-公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【详解】由题意可得：，解得，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．8．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析