椭圆必会十大基本题型讲与练07以椭圆为情景的定点问题典例分析类型一、线过定点问题1、已知A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq\o(AG,\s\up7(―→))·eq\o(GB,\s\up7(―→))＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．【答案】eq\f(x2,9)＋y2＝1；【分析（2）】看问题：证明：直线CD过定点（属于线过定点问题）想方法：圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．看条件：P为直线x＝6上的动点，A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,9)＋y2＝1的左、右顶点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（点在椭圆上，一是想定义二是想坐标，都可得到等量关系）。定措施：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．则直线PA的方程为y＝eq\f(t,9)(x＋3)，所以y1＝eq\f(t,9)(x1＋3)，同理y2＝eq\f(t,3)(x2－3)．可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．又eq\f(x\o\al(2,2),9)＋yeq\o\al(2,2)＝1，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，由此得到n的值，从而可证直线CD过定点。【解析】(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则eq\o(AG,\s\up7(―→))＝(a,1)，eq\o(GB,\s\up7(―→))＝(a，－1)．由eq\o(AG,\s\up7(―→))·eq\o(GB,\s\up7(―→))＝8，得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3＜n＜3.由于直线PA的方程为y＝eq\f(t,9)(x＋3)，所以y1＝eq\f(t,9)(x1＋3)．直线PB的方程为y＝eq\f(t,3)(x－3)，所以y2＝eq\f(t,3)(x2－3)．可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．由于eq\f(x\o\al(2,2),9)＋yeq\o\al(2,2)＝1，故yeq\o\al(2,2)＝－eq\f(x2＋3x2－3,9)，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①将x＝my＋n代入eq\f(x2,9)＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.所以y1＋y2＝－eq\f(2mn,m2＋9)，y1y2＝eq\f(n2－9,m2＋9).代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2·(m2＋9)＝0.解得n＝eq\f(3,2)或n＝－3(舍去)．故直线CD的方程为x＝my＋eq\f(3,2)，即直线CD过定点若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点综上，直线CD过定点类型二、圆过定点问题1、已知点QUOTE????Q是圆QUOTE????1C1：QUOTE????2+????2=4x2+y2=4上一动点，线段QUOTE????????OQ与圆QUOTE????2C2：QUOTE????2+????2=3x2+y2=3相交于点QUOTE????T.直线QUOTE????d经过QUOTE????Q，并且垂直于QUOTE????x轴，QUOTE????T在QUOTE????d上的射影点为QUOTE????E.（1）求点QUOTE????E的轨迹QUOTE????C的方程；（2）设圆QUOTE????1C1与QUOTE????x轴的左、右交点分别为QUOTE????A，QUOTE????B，点QUOTE????P是曲线QUOTE????C上的点（点QUOTE????P与QUOTE????A，QUOTE????B不重合），直线QUOTE????????AP，QUOTE????????BP与直线QUOTE????l：QUOTE????=4x=4分别相交于点QUOTE????M，QUOTE????N，求证：以QUOTE????????MN直径的圆经过定点.【答案】（1）QUOTE????24+????23=1x24+y23=1（2）见证明【解析】（1）设点QUOTE????(????,????)E(x,y)，QUOTE????(????????,????????)Q(xQ,yQ).当QUOTE????????=0yQ=0时，易得QUOTE????(±2,0)E(±2,0)；当QUOTE????????≠0yQ≠0时，有QUOTE????????????=32yyQ=32，所以QUOTE????????=2????3yQ=2y3.又QUOTE????????=????xQ=x，所以QUOTE????????,2????3Qx,2y3.代入QUOTE????1C1的方程，得QUOTE????2+2????32=4x2+2y32=4，即QUOTE????24+????23=1x24+y23=1.（2）证明：设直线QUOTE????????AP，QUOTE????????BP的斜率分别为QUOTE????k，QUOTE????1k1，记QUOTE????(????????,????????)P(xp,yp).则QUOTE????????1=????????????????+2⋅????????????????−2kk1=ypxp+2⋅ypxp−2QUOTE=????????2????????2−4=−34=yp2xp2−4=−34，QUOTE????1=−34????k1=−34k.直线QUOTE????????AP的方程为QUOTE????=????(????+2)y=k(x+2)，所以QUOTE????(4,6????)M(4,6k).直线QUOTE????????BP的方程为QUOTE????=−34????(????−2)y=−34k(x−2)，所以QUOTE????4,−32????N4,−32k.以QUOTE????????MN为直径的圆的方程为QUOTE(????−4)2+(????−6????)????+32????=0(x−4)2+(y−6k)y+32k=0.整理，得QUOTE12????????2−[2(????−4)2+12yk2−[2(x−4)2+QUOTE2????2−18]????−3????=02y2−18]k−3y=0.令QUOTE????=0????−42+2????2−18=0y=0x−42+2y2−18=0解得QUOTE????=1,????=0,x=1,y=0,或QUOTE????=7,????=0,x=7,y=0,，所以以QUOTE????????MN为直径的圆过定点QUOTE(1,0)(1,0)，QUOTE(7,0)(7,0).类型三、定点与定值的交汇问题1．在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右顶点分别为，.是椭圆的右焦点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，过定点【分析】（1）将，转化为长度，利用椭圆的几何性质列方程组解出可得椭圆的方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，代入，化简可得或，再代入直线的方程可得答案.【详解】（1）根据题意可知，，.∵,，所以，，∴，解得，所以，∴椭圆方程为；（2）设直线方程为，联立，消去，并整理得，设，则，，所以，化简得，所以或，当时，，此时直线经过定点，不合题意，当时，，此时直线过定点，综上所述：直线过定点，并且定点的坐标为.类型四、定点、定值与探索的交汇问题1.已知椭圆QUOTE????:????2????2+????2????2=1(????>????>0)C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点QUOTE????(−1,32)M(−1,32)在椭圆QUOTE????C上，椭圆QUOTE????C的离心率是QUOTE1212.（1）求椭圆QUOTE????C的标准方程；（2）设点QUOTE????A为椭圆长轴的左端点，QUOTE????,????P,Q为椭圆上异于椭圆QUOTE????C长轴端点的两点，记直线QUOTE????????,????????AP,AQ斜率分别为QUOTE????1,????2k1,k2，若QUOTE????1????2=−14k1k2=−14，请判断直线QUOTE????????PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）QUOTE????24+????23=1x24+y23=1（2）过定点QUOTE(1,0)(1,0)【解析】（1）由点QUOTE????(−1,32)M(−1,32)在椭圆QUOTE????C上，且椭圆QUOTE????C的离心率是QUOTE1212，可得QUOTE1????2+94????2=1????????=121a2+94b2=1ca=12，可解得：QUOTE????2=4????2=3????2=1a2=4b2=3c2=1故椭圆QUOTE????C的标准方程为QUOTE????24+????23=1x24+y23=1.（2）设点QUOTE????,????P,Q的坐标分别为QUOTE(????1,????1),(????2,????2)(x1,y1),(x2,y2)，（ⅰ）当直线QUOTE????????PQ斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：QUOTE????(1,32)P(1,32)，QUOTE????(1,−32)Q(1,−32)，（ⅱ）当直线QUOTE????????PQ的斜率存在时，设直线QUOTE????????PQ的方程为QUOTE????=????????+????y=kx+m，联立QUOTE????24+????23=1????=????????+????x24+y23=1y=kx+m，消去QUOTE????y得：QUOTE(4????2+3)????2+8????????????+(4????2−12)=0(4k2+3)x2+8kmx+(4m2−12)=0，由QUOTE????=64????2????2−4(4????2+3)(4????2−12)=48(4????2−????2+3)>0Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，有QUOTE4????2+3>????24k2+3>m2，由韦达定理得：QUOTE????1+????2=−8????????4????2+3x1+x2=−8km4k2+3，QUOTE????1????2=4????2−124????2+3x1x2=4m2−124k2+3，故QUOTE????1????2=????1????2(????1+2)(????2+2)=−14k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14，可得：QUOTE4????1????2+(????1+2)(????2+2)=04y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，可得：QUOTE4(????????1+????)(????????2+????)+(????1+2)(????2+2)=04(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理为：QUOTE(4????2+1)????1????2+(4????????+2)(????1+????2)+4????2+4=0(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0，故有QUOTE(4????2+1)4????2−124????2+3−(4????????+2)8????????4????2+3+4????2+4=0(4k2+1)4m2−124k2+3−(4km+2)8km4k2+3+4m2+4=0，化简整理得：QUOTE????2−????????−2????2=0