一网打尽外接球与内切球问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球【真题回归】1.(2022·全国·高考真题(文))已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(    )1132A.B.C.D.32322.(2021·全国·高考真题(理))已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(    )2323A.B.C.D.1212443.(2022·全国·高考真题)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(    )A.100πB.128πC.144πD.192π4.(2022·全国·高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是(    )8127812764A.18,B.,C.,D.[18,27]444435.(2020·全国·高考真题(理))已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为(    )A.64πB.48πC.36πD.32π936.(2020·全国·高考真题(理))已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若4球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(    )33A.3B.C.1D.22【方法技巧与总结】1.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．PA(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示．2(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4【核心考点】核心考点一：正方体、长方体外接球【规律方法】1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．【典型例题】32例1.(2023·全国·高三专题练习)已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的体对角线等于(    )3234243A.B.4C.D..333例2.(2022·陕西西安·模拟预测(文))长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为(    )A.9πB.18πC.36πD.48π例3.(2022·贵州黔南·高三开学考试(理))自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为202cm，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________cm2．核心考点二：正四面体外接球【规律方法】2如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为a，显然正四面体和正2236方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R=a⋅=a，即正四面体外接球半径为R=2246a．4【典型例题】例4.(2022·黑龙江·哈九中模拟预测(理))已知正四面体P-ABC外接球O表面积为54π，则该正四面体棱长为______；若M为平面ABC内一动点，且PM=42，则AM最小值为______．例5.(2022·江苏南京·高三开学考试)已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.例6.(2022·福建·福州三中模拟预测)表面积为83的正四面体的外接球的表面积为(    )A.43πB.12πC.8πD.46π核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体ABCD中，AB=CD=m，AC=BD=n，AD=BC=t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．b2+c2=m2m2+n2+t2如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a2+c2=n2，三式相加可得a2+b2+c2=,而显2a2+b2=t2222然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2+b2+c2=4R2，所以R=m+n+t．8【典型例题】例7.(2022·全国·高三专题练习)在四面体ABCD中，AC=BD=2，AD=BC=5，AB=CD=7，则其外接球的表面积为___________.例8.(2022·全国·高三专题练习)已知四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=10，AC=BD=13，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为(   )A.42πB.43πC.14πD.16π例9.(2020·全国·模拟预测(文))在三棱锥A-BCD中，若AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，其外接球的表面积为(    )A.27πB.29π29π29πC.D.42核心考点四：直棱柱外接球【规律方法】如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)图1图2图3第一步：确定球心O的位置，O1是ΔABC的外心，则OO1⊥平面ABC；11第二步：算出小圆O的半径AO=r，OO=AA=h(AA=h也是圆柱的高)；1112121h22第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2⇒R2=+r2⇒R=r2+h，解出R1122【典型例题】例10.(2022·河南新乡·一模(理))已知正三棱柱的侧棱长为l，底面边长为a，若该正三棱柱的外接球体积为32π，当l+a最大时，该正三棱柱的体积为(    )31087722110877221A.B.C.D.494977例11.(2022·湖南岳阳·高三阶段练习)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,BC=3AC，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为(  )282132205287A.πB.πC.πD.π27339例12.(2021·四川泸州·二模(文))直六棱柱的底面是正六边形，其体积是63，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是(    )A.4πB.8πC.12πD.24π核心考点五：直棱锥外接球【规律方法】如图，PA⊥平面ABC，求外接球半径．解题步骤：第一步：将ΔABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O1为ΔABC的外心，所以OO1⊥平面ABC，算出小圆O1的半径O1D=abcr(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得===2r)，sinAsinBsinC1OO=PA；12第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2=PA2+(2r)2⇔2R=PA2+(2r)2；22222②R=r+OO1⇔R=r+OO1．【典型例题】例13.(2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中(文))三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(    )A.2πB.3πC.4πD.6π例14.(2022·福建·宁德市民族中学高三期中)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(    )A.12πB.16πC.20πD.24π例15.(2021·四川成都·高三开学考试(文))已知在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥平面ABC，PA=3，AB=1，BC=3，AC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(   )A.13πB.12πC.9πD.8π核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型【规律方法】r2+h21、正棱锥外接球半径：R=．2h2、侧棱相等模型：如图，P的射影是ΔABC的外心⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等⇔三棱锥P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ΔABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1=r，再算出棱锥的高PO1=h(也是圆锥的高)；r2+h2第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2⇒R2=(h-R)2+r2，解出R=．112h【典型例题】2π例16.(2022·江西·金溪一中高三阶段练习(文))在正三棱锥S-ABC中，∠ASB+∠BSC=，△ABC的3边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．例17.(2022·全国·高三专题练习)已知正三棱锥S-ABC，其外接球球O的半径为R，则该正三棱锥S-ABC的体积的最大值为__________．例18.(2022·全国·高三专题练习)已知正三棱锥S-ABC的棱长为63，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．3例19.(2022·全国·高三专题练习)三棱锥P-ABC体积为，且PA=PB=PC,AB=AC=1,BC=3，6则三棱锥外接球的表面积为____________．例20.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥P-ABC中，PA=PC=AB=AC=1， PB=BC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为___________.核心考点七：侧棱为外接球直径模型【规律方法】找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．【典型例题】例21.(2022·河南河南·一模(文))三棱锥D-ABC的外接球的表面积为8π,BD是该球的直径，AC⊥BC,AB=2BC=2，则三棱锥D-ABC的体积为_____.例22.(2022·河南·一模(理))三棱锥D-ABC的外接球的表面积为20π，AD是该球的直径，△ABC是边长为23的正三角形，则三棱锥D-ABC的体积为______．例23.(2021·全国·高三专题练习(文))已知三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=2，PA为其外接球的23一条直径，若该三棱锥的体积为，则外接球的表面积为___________．3核心考点八：共斜边拼接模型【规律方法】如图，在四面体ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=OC=OB=OD，即点O到A，B，C，D四点的距离相等，故点O就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD就是外接球的一条直径．【典型例题】例24.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()125125A.πB.π129125125C.πD.π63例25.三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AC=2，PA⊥PC，AB⊥BC，则三棱锥P-ABC的外接球的半径为例26.在平行四边形ABCD中，满足AB∙AD=AB2，2AB2=4-BD2，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.16πB.8πC