２５届高三数学试题参考答案１．Ｃ 存在量词命题的否定为全称量词命题．２．Ａ 因为犃＝（－槡３，槡３），犅＝（－１，２），所以犃∩犅＝（－１，槡３）．２１３．Ｄ 依题意，狓＜０，狉＝｜犗犘｜＝槡狓２＋４，其中，犗为坐标原点，则ｓｉｎα＝＝，所以狓槡狓２＋４３＝－４２槡．４．Ａ 由犳（狓）＝（狓－２）狀，得犳′（狓）＝狀（狓－２）狀－１，则当狀＝２犽＋１，犽∈犖时，犳（狓）＝（狓－２）狀是增函数，故“狀＝１”是“犳（狓）是增函数”的充分不必要条件．烄９８狊－２狋－＋５０，狋＜８，５．Ｂ 由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润狔＝＝烅狋狋烆－狋２＋１０狋－２，狋≥８．９８９８当狋＜８时，２狋＋≥２８，当且仅当狋＝７时，等号成立，则－２狋－＋５０≤２２．当狋≥８时，－狋２狋狋＋１０狋－２＝－（狋－５）２＋２３≤１４，当且仅当狋＝８时，等号成立．故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间狋＝７．π１６．Ｂ （方法一）因为犳（狓）的图象关于点－，对称，所以犳（－狓）＋犳（－π＋狓）＝１，（２２）又犳（狓）＋犳（－狓）＝１，所以犳（狓）＝犳（－π＋狓），所以犳（狓）是周期为π的周期函数，所以１１９ππππ３犳＝犳１０π－＝犳－＝１－犳＝．（１２）（１２）（１２）（１２）４１１１１９π１１１１９π１１（方法二）取犳（狓）＝－ｓｉｎ２狓满足题意，得犳＝－ｓｉｎ＝－ｓｉｎ２０π２２（１２）２２６２２（π１１π３－＝＋ｓｉｎ＝．６）２２６４７．Ｂ 因为０＜狓＜π，所以０＜ω狓＜ωπ，令犳（狓）＝ｓｉｎω狓＋１＝０，则方程ｓｉｎω狓＝－１有２个７π１１π７１１７１１根，所以＜ωπ≤，解得＜ω≤，则ω的取值范围是，．２２２２（２２］８．Ｄ 令犵（狓）＝犳（狓）－１＝狓３＋３狓，则犵′（狓）＝３狓２＋３＞０恒成立，则犵（狓）在犚上单调递增，且犵（狓）是奇函数．由犳（ｓｉｎ狓）＋犳（犿＋ｃｏｓ狓）＝２，得犳（ｓｉｎ狓）－１＝－［犳（犿＋ｃｏｓ狓）－１］，即犵（ｓｉｎ狓）＝犵（－犿－ｃｏｓ狓），从而ｓｉｎ狓＝－犿－ｃｏｓ狓，即犿＝－ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓＝π－槡２ｓｉｎ狓＋∈［－槡２，槡２］．（４）２狓２９．ＡＤ 对于Ａ，当狓＞０时，＝≤１，Ａ正确．狓２＋１１狓＋狓对于Ｂ，若犪＝１，犫＝－１，犮＝－１，犱＝－２，则犪犮＝－１，犫犱＝２，此时犪犮＜犫犱，Ｂ错误．１１１－犪２犪２＋１＋（犪２＋１＋１－犪２）２＋＋１１（犪２＋１１－犪２）犪２＋１１－犪２对于Ｃ，＋＝＝≥犪２＋１１－犪２２２【高三数学·参考答案 第 １页（共５页）】２５－７３犆书１－犪２犪２＋１２＋２·犪２＋１１－犪２槡＝２，当且仅当犪＝０时，等号成立，Ｃ错误．２对于Ｄ，因为犪＞犫＞１＞犮＞０，所以犫犮－１＞犪犮－１，故犪犫犮＞犫犪犮，Ｄ正确．ππ２ππ１０．ＡＤ 由图可知，犳（狓）的最小正周期犜＝＝，则ω＝２，－＝＋犽π，犽∈犣，由０＜ω２３φ２φπ１π槡３７π＜π，得＝，即犳（狓）＝ｔａｎ２狓－，则犳（０）＝－．由犳（狓）的图象关于点，０φ６２（６）６（１２）７π对称，可得函数狔＝｜犳（狓）｜的图象关于直线狓＝对称．１２１１ｌｏｇｌｏｇ１１０９１１１１１．ＡＣＤ 犪＝２４１００＝２２１０＝，犫＝ｌｎ＝－ｌｎ＝－ｌｎ１－，犪－犫＝＋ｌｎ１－．１０９１０（１０）１０（１０）１－狓令犳（狓）＝狓＋ｌｎ（１－狓），狓∈（０，１），则犳′（狓）＝１－＝＜０，犳（狓）在（０，１）上单调１－狓１－狓１槡１０１０９１０递减，所以犳＜犳（０）＝０，即犪＜犫．因为犮＝＝－，所以犫－犮＝ｌｎ－（１０）３０槡９槡１０９１０９１１１１＋．令犺（狓）＝ｌｎ狓－槡狓＋，狓∈（１，＋∞），则犺′（狓）＝－－＝槡９槡１０槡狓狓２槡狓２槡狓３２狓－狓－１－（狓－１）２１０槡槡，（）在（，）上单调递减，所以（），即３＝３＜０犺狓１＋∞犺（）＜犺１＝０犫２２９２狓２狓＜犮．２７＋２５－４４１２．１２ 由题可得这两个竞赛都参加的学生有＝４人，所以这两个竞赛都没参加的２学生有６０－（４４＋４）＝１２人．ππ２２槡２π１３．－ 由ｃｏｓ２α＝ｃｏｓα＋，得ｃｏｓα－ｓｉｎα＝（ｃｏｓα－ｓｉｎα）．因为α∈－，０，所１２（４）２（２）槡２π１ππ以ｃｏｓα－ｓｉｎα≠０，则ｃｏｓα＋ｓｉｎα＝，则ｓｉｎα＋＝．由α∈－，０，得α＋∈２（４）２（２）４πππππ－，，则α＋＝，解得α＝－．（４４）４６１２犳（狓１）犳（狓２）１４．８ 因为狓１，狓２∈（１，＋∞），且狓１＜狓２，恒有＜，狓２狓１所以狓１犳（狓１）＜狓２犳（狓２）在狓∈（１，＋∞）上恒成立．ｅ３狓狓犪＋１设犵（狓）＝狓犳（狓）＝－，狓∈（１，＋∞），３犪＋１ｅ３狓狓犪＋１可得函数犵（狓）＝－在狓∈（１，＋∞）上单调递增，３犪＋１所以犵′（狓）＝ｅ３狓－狓犪≥０在狓∈（１，＋∞）上恒成立，故３狓≥犪ｌｎ狓．３狓当狓∈（１，＋∞）时，犪≤恒成立．ｌｎ狓３狓３（ｌｎ狓－１）设犺（狓）＝，狓∈（１，＋∞），则犺′（狓）＝，ｌｎ狓（ｌｎ狓）２【高三数学·参考答案 第 ２页（共５页）】２５－７３犆令犺′（狓）＝０，得狓＝ｅ，当狓∈（１，ｅ）时，犺′（狓）＜０，犺（狓）单调递减，当狓∈（ｅ，＋∞）时，犺′（狓）＞０，犺（狓）单调递增，所以犺（狓）ｍｉｎ＝犺（ｅ）＝３ｅ≈８．２，又因为犪∈犖，所以犪的最大值为８．１５．解：（１）因为命题狆：狓∈［０，π］，ｓｉｎ狓－犪≤ｃｏｓ狓为假命题，所以瓙狆：狓∈［０，π］，ｓｉｎ狓－犪＞ｃｏｓ狓为真命题．…………………………………………………………………………３分由ｓｉｎ狓－犪＞ｃｏｓ狓，得ｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓＞犪，………………………………………………４分πππ３πｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓＝槡２ｓｉｎ狓－，因为狓∈［０，π］，所以狓－∈－，，（４）４［４４］π所以犪＜槡２ｓｉｎ狓－，即犪＜－１．（４）所以犃＝｛犪｜犪＜－１｝．………………………………………………………………………７分（２）因为“犪∈犃”是“犪∈犅”的必要不充分条件，所以集合犅是集合犃的真子集，……９分则犅＝｛犪｜犪＜－２｝符合题意（答案不唯一）．……………………………………………１３分１６．解：（１）因为（２犮＋犫）ｃｏｓ犃＋犪ｃｏｓ犅＝０，所以２犮ｃｏｓ犃＋犫ｃｏｓ犃＋犪ｃｏｓ犅＝０．由正弦定理得ｓｉｎ犃ｃｏｓ犅＋ｃｏｓ犃ｓｉｎ犅＝－２ｓｉｎ犆ｃｏｓ犃，………………………………２分则ｓｉｎ（犃＋犅）＝－２ｓｉｎ犆ｃｏｓ犃，…………………………………………………………３分即ｓｉｎ犆＝－２ｓｉｎ犆ｃｏｓ犃．…………………………………………………………………４分１在△犃犅犆中，ｓｉｎ犆≠０，故ｃｏｓ犃＝－．…………………………………………………６分２２π因为犃∈（０，π），所以犃＝．………………………………………………………………７分３１５３槡１２π１５３槡（２）因为△犃犅犆的面积为，所以犫犮ｓｉｎ＝，得犫犮＝１５．…………………９分４２３４由余弦定理得犪２＝犫２＋犮２－２犫犮ｃｏｓ犃，则犪２＝（犫＋犮）２－犫犮．…………………………１２分又犪＋犫＋犮＝１５，所以犪２＝（１５－犪）２－１５，解得犪＝７．…………………………………１５分１７．解：（１）因为犪＝４，所以犳（狓）＝狓２－４ｌｎ（狓＋１），狓＞－１，………………………………１分４２（狓＋２）（狓－１）则犳′（狓）＝２狓－＝．…………………………………………………３分狓＋１狓＋１当狓∈（－１，１）时，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减；当狓∈（１，＋∞）时，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增．故犳（狓）的极小值点为１，无极大值点．……………………………………………………５分犪２狓２＋２狓－犪（２）由犳（狓）＝狓２－犪ｌｎ（狓＋１），狓＞－１，得犳′（狓）＝２狓－＝．………６分狓＋１狓＋１１２－１＋槡１＋２犪若犪＞－，即４＋８犪＞０，则方程２狓＋２狓－犪＝０的解为狓１＝，狓２＝２２－１－槡１＋２犪．………………………………………………………………………………７分２１－１－槡１＋２犪若０＜１＋２犪＜１，即－＜犪＜０，则狓１＞狓２＞－１．当狓∈－１，∪２（２）－１＋槡１＋２犪－１－槡１＋２犪－１＋槡１＋２犪，＋∞时，犳′（狓）＞０，当狓∈，时，犳′（狓）＜０，（２）（２２）【高三数学·参考答案 第 ３页（共５页）】２５－７３犆－１－槡１＋２犪－１＋槡１＋２犪则犳（狓）的单调递增区间为－１，和，＋∞，单调递减区间为（２）（２）－１－槡１＋２犪－１＋槡１＋２犪，．…………………………………………………………１１分（２２）－１＋槡１＋２犪若１＋２犪≥１，即犪≥０，则狓２≤－１＜狓１．当狓∈－１，时，犳′（狓）＜０，当狓∈（２）－１＋槡１＋２犪－１＋槡１＋２犪，＋∞时，犳′（狓）＞０，则犳（狓）的单调递增区间为，＋∞，单（２）（２）－１＋槡１＋２犪调递减区间为－１，．……………………………………………………１５分（２）１８．（１）解：由题可得犳′（狓）＝－２ｃｏｓ狓ｓｉｎ狓·ｃｏｓ２狓＋ｃｏｓ２狓·（－２ｓｉｎ２狓）＝－２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓·（４ｃｏｓ２狓－１）＝－２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓（２ｃｏｓ狓－１）（２ｃｏｓ狓＋１）．…………………………………２分ππ２π令犳′（狓）＝０在狓∈（０，π）上的根为狓１＝，狓２＝，狓３＝，…………………………３分３２３πππ当狓∈０，时，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减，当狓∈，时，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增，（３）（３２）π２π２π当狓∈，时，犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减，当狓∈，π时，犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增．（２３）（３）ππ２πππ２π综上，犳（狓）在０，和，上单调递减，在，和，π上单调递增．……６分（３）（２３）（３２）（３）（２）解：因为犳（狓＋π）＝ｃｏｓ２（狓＋π）ｃｏｓ２（狓＋π）＝ｃｏｓ２狓ｃｏｓ２狓＝犳（狓），所以犳（狓）的一个正周期为π．……………………………………………………………８分π１π２π１根据（１）中结论，犳（０）＝１，犳＝－，犳＝０，犳＝－，犳（π）＝１，………９分（３）８（２）（３）８１所以犳（狓）的最大值为１，最小值为－．………………………………………………１０分８（３）证明：ｃｏｓ狓ｓｉｎ３３狓犳（狓）犳（２狓）犳（４狓）…犳（２狀狓）＝ｓｉｎ３３狓ｃｏｓ３狓ｃｏｓ３２狓ｃｏｓ３４狓…ｃｏｓ３２狀狓·ｃｏｓ２狀＋１狓≤｜ｓｉｎ３３狓ｃｏｓ３狓ｃｏｓ３２狓ｃｏｓ３４狓…ｃｏｓ３２狀狓｜，……………………………………１２分又ｓｉｎ３狓＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ２狓＋ｃｏｓ狓ｓｉｎ２狓＝ｓｉｎ狓（１－２ｓｉｎ２狓）＋２ｓｉｎ狓（１－ｓｉｎ２狓）＝３ｓｉｎ狓－４ｓｉｎ３狓，………………………………………………………………………………………１３分所以｜ｓｉｎ３狓｜｜ｃｏｓ狓ｃｏｓ２狓ｃｏｓ４狓ｃｏｓ８狓…ｃｏｓ２狀狓｜＝｜３－４ｓｉｎ２狓｜｜ｓｉｎ狓｜｜ｃｏｓ狓ｃｏｓ２狓ｃｏｓ２２狓…ｃｏｓ２狀狓｜｜ｓｉｎ２狀＋１狓｜３≤３｜ｓｉｎ狓｜｜ｃｏｓ狓ｃｏｓ２狓ｃｏｓ４狓…ｃｏｓ２狀狓｜≤３·≤，２狀＋１２狀＋１２７所以ｃｏｓ狓ｓｉｎ３３狓犳（狓）犳（２狓）犳（４狓）…犳（２狀狓）≤，得证．…………………………１７分２３狀＋３１１１１９．（１）解：（ⅰ）因为点犃，狔１在曲线犳（狓）＝槡狓上，所以狔１＝＝．……………１分（４）槡４２１１由犳（狓）＝槡狓，得犳′（狓）＝，则犳′（）＝１，…………………………………………２分２槡狓４１则曲线狔＝犳（狓）在点犃处的切线方程为狔＝狓＋．……………………………………３分４【高三数学·参考答案 第 ４页（共５页）】２５－７３犆（ⅱ）由犳（狓）＝槡狓，得犵（狓）＝狓２（狓≥０）．………………………………………………４分１１根据对称性可设犃，犇关于直线狔＝狓对称，可得犇，，则｜犃犇｜＝（２４）１１－１１２１１２槡２４２－＋－＝，犽犃犇＝＝－１．……………………………………５分（２４）（４２）４１１槡－