2024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷命题人：孙方辉校对人：王立冉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.1 B.2 C. D.32.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位3.中，点、在边上，，设，，则（）A. B.C. D.4.设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（）A. B.C. D.5.已知函数，则不等式解集为（）A. B.C. D.6.已知函数，若在有唯一的零点，则（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数在处有极大值，则（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数最小正周期为，当时，函数取最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为坐标原点，，，，则（）A.方向的单位向量为B.若，则点坐标为C.D.在上的投影的数量为10.设函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最大值为2B.区间有两个极值点C.D.直线是曲线的切线11.中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（）A.B.，，不能构成三角形C.若，则为锐角三角形D.若，，均为有理数，则为有理数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量，满足，则的最小值为______.13.函数的值域是，则实数的取值范围是______.14.如图，圆内接四边形中，为直径，，.则的长度为______；______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.等差数列an的前项和为，已知，.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前项和.16.已知函数.（1）若为偶函数，求的最小值；（2）当时，判断的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于的不等式的解集.17.在中，为的中点，，记，.（1）证明：或；（2）若，且，求的最大值.18.如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为.（1）求和的值；（2）已知，，，求的值.19.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若在上单调递增，求正实数的取值范围；（3）时，证明：.2024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷命题人：孙方辉校对人：王立冉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据模长公式求解.【详解】由得，故，故，故选：C2.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位【答案】B【解析】【详解】试题分析：记函数，则函数∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3.在中，点、在边上，，设，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，即可得到结果.【详解】由，可得，则，又，，所以.故选：A4.设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数可得，即可代入求解.【详解】，若是偶函数，则，故,进而可得，故，,，故，故选：D5.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性求解不等式.【详解】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处，所以函数在定义域上单调递增，所以，得，所以不等式的解集为.故选：B6.已知函数，若在有唯一的零点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先判断是偶函数，根据偶函数的对称性即可求解.【详解】由于，所以是偶函数，要使在−1,1有唯一的零点，则，即，解得，故选：A7.已知函数在处有极大值，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解.【详解】，由题意可知，，得或，当时，，得或，当f′x>0，得或，f′x<0，得，所以函数的单调递增区间是和1,+∞，单调递减区间是，所以是极小值，故，时，，得或，当f′x>0，得或，f′x<0，得，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，所以是极大值，故.故选：C8.已知函数的最小正周期为，当时，函数取最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出，再借助正弦函数的单调性判断即得.【详解】由函数最小正周期为，得，而，则函数在取得最小值，于是，即，因此函数（），而，，，又，正弦函数在上单调递减，即，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为坐标原点，，，，则（）A.方向的单位向量为B.若，则点的坐标为C.D.在上的投影的数量为【答案】BC【解析】【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项.【详解】对于A.,，所以方向的单位向量为，故A错误；对于B.设Px,y，由，则，所以，所以，所以，故B正确；对于C.，，，所以，故C正确；对于D.向量在方向上的投影数量，故D错误.故选：BC.10.设函数，则下列结论正确是（）A.函数最大值为2B.在区间有两个极值点C.D.直线是曲线的切线【答案】BCD【解析】【分析】化简函数解析式，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意义判断D.【详解】由题意得选项A：函数的最大值为，错误；选项B：当时，，由正弦函数图象可得y=fx有2个极值点，由和解得和为函数的极值点，正确；选项C，正确，选项D，由得，所以或，，解得或，，所以函数y=fx在点处的切线斜率为，切线方程为即，正确；故选：BCD11.中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（）A.B.，，不能构成三角形C.若，则为锐角三角形D.若，，均为有理数，则为有理数【答案】ACD【解析】【分析】根据三角形三边关系，平方即可求解A，利用即可判断B，利用余弦定理以及不等式的性质即可求解C，利用余弦定理，结合图形关系即可求解D.【详解】对于A,由于，平方可得，相加化简可得，故A正确，对于B，取，则，，能构成三角形，B错误，对于C，由可知，故为最大的内角，则，故为锐角，进而可得为锐角三角形，C正确，对于D，若，，均有理数，则均为有理数，则为有理数，不妨设，延长到，使得，过作，故，由于，故为有理数，所以均为有理数，因此为有理数，故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用三角形图形关系，作出，在中由余弦定理即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】首先利用数量积模的公式，转化为二次函数求最值.【详解】，当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：13.函数的值域是，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】该函数的值域为,，从而函数和轴存在公共点，从而判别式，解该不等式即可得出实数的取值范围．【详解】根据题意知，函数可以取到0；函数和轴有交点；；解得，或；实数的取值范围为：．故答案为：．14.如图，圆内接四边形中，为直径，，.则的长度为______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】首先根据圆的性质，得到，再根据余弦定理，即可求解，直角三角形中分别求解和，转化向量，再根据向量数量积的定义求解.【详解】因为是直径，，，所以，，所以，，，所以；在中，，中，，，，，.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.等差数列an的前项和为，已知，.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【小问1详解】设数列an的公差为，∵，∴，∵，∴，∴公差为，∴，∴；【小问2详解】由已知，时，；时，；综上.16.已知函数.（1）若为偶函数，求的最小值；（2）当时，判断的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于的不等式的解集.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根据为偶函数，由恒成立求得，然后利用基本不等式求函数的最小值；（2）易知时，在R上为单调递增函数，然后指数和对数运算，得到，然后将问题转化为，利用函数的单调性求解.【详解】（1）的定义域为R，，∵为偶函数，∴恒成立，∴恒成立，整理得恒成立，∴∴，当且仅当即时等号成立．∴的最小值为2.（2）时，在R上为单调递增函数，∵，，则，∴，即，解得，∴解集为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用指数和对数运算化简.17.在中，为的中点，，记，.（1）证明：或；（2）若，且，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，在与中分别用正弦定理即可得到，再结合正弦的二倍角公式，即可证明；（2）分别讨论与，结合列出不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】∵，∴，∴，在中，则；中，则，∵，∴，∴，∵，∴或，即或.【小问2详解】时，∵，∴，∴，由已知，矛盾；时，，∴，∴，∴，∴，∵，∴的最大值为.18.如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为.（1）求和的值；（2）已知，，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据可得，即可根据周期关系得，结合中心对称即可求解，（2）根据同角关系可得，进而根据和差角公式即可求解.【小问1详解】由已知，∵，∴，∴，由已知，，∴，，由图象可知∴，∵，∴，∴【小问2详解】由（1）知，∵，∴，∵，∴；∵，∴，∴，即∵，∴，∴∴19.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若在上单调递增，求正实数的取值范围；（3）时，证明：.【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定单调性，（2）根据单调性将问题转化为恒成立，构造，求导，根据基本不等式，结合分类讨论即可求解，（3）根据得，两式相加，即可化简求解.【小问1详解】由已知，∴，记，则，且等号不同时成立，∴在上单调递增，又，∴时，；时，，∴的单调递增区间是，单调递减区间是；【小问2详解】若在上单调递增，则恒成立，设，则，时，∵，∴；∵，∴，∴，∵时，，∴在上单调递增，符号题意；时，，令，时，，∴在上单调递增，由得，∴，又，∴在上存在唯一解，记为∴时，，即∴在上单调递减，∴，即，矛盾，综上，；【小问3详解】，时，，∴，故，∴，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎx；(3)利用导数研究ℎx的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．