北京市朝阳区2024~2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2024.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.2.若函数在处取得最小值，则（）A.1 B. C.2 D.43.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增是（）A B.C. D.4.如图，在中，，，则（）A. B.C. D.5.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（）A. B. C. D.6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）A1天 B.2天 C.3天 D.4天7.已知均为第二象限角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9.在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（）A. B. C.3 D.10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（）A.99 B. C. D.96第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数__________．12.在中，已知，则__________；________.13.已知数列的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对________，使得数列是递增数列.14.某种灭活疫苗的有效保存时间（单位：）与储藏的温度（单位：℃）满足函数关系（为常数，其中）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.15.对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质.给出下列四个结论：①存在公差不为的等差数列具有性质；②以为首项，为公比的等比数列具有性质；③若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质；④若数列和均具有性质，则数列也具有性质.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求的值；（2）若，，求b及的面积.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，.（1）求证：平面PAD；（2）求平面与平面PCD的夹角的余弦值；（3）记平面与平面PCD交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.18.已知函数.（1）若，求的最小值；（2）若存在极小值，求的取值范围.19.设函数.（1）若，，求的值；（2）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值.条件①：当时，取到最小值；条件②：；条件③：在区间上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数；（3）若，其中，求证：.21.若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.（1）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；（2）已知数列A：，，，…，是T数列.（i）证明：对任意的，与不能同时成立；（ii）若n为奇数，求的最大值.