西南大学附中高2025届高三上11月阶段性检测(二)数学答案1—4.CBAA5—8.DDAB9.AC10.ACD11.ABD12.213.−4314.38.如图,由题意得,R=2,∴OH=h−2,CH=4− h−22,∵该三棱锥为正三棱锥,∴BC=3⋅4− h−22=3⋅−h2+4 h,∴VP−ABC=13⋅34⋅BC2⋅h=34−h3+4 h2令fh=−h3+4h200有解,则xex+alnxex=0x>0有解,令t=xex,t>0,即t+alnt=0,当a=0时,不符合题意,则−1a=lntt∴−1a<0或0<−1a<1e14.①a+b+c=ab+bc+ac+a+b+c, ab+bc+ac=0②ac=abc+c2, ba=abc+a2, bc=abc+c2③a1−b=c, b1−c=a, c1−a=babc1−b1−c1−a=abc, 1−b1−c1−a=1,a+b+c+1+ac+bc+ab+abc=1, a+b+c=−abc④a+b+c2=abc2,a2+b2+c2+2ab+ac+bc=abc2−3abc=abc2, abc=−3, ∴a+b+c=315.(1)∵bcosAcosC+acosBcosC=34c∴bcosA+acosBcosC=34c,即ccosC=34c,cosC=34∴sinC=74∴SΔABC=12absinC=376分(2)c2=a2+b2−2abcosC=16,∴c=4∵a=c∴A=C∴cosA=cosC=34∵3BD=DC ∴AD=14AC+34AB∴AD2=14AC+34AB2=18,AD=327分16.(1)∵Sn=nan+2nn−1∴Sn−1=n−1an−1+2n−1n−2, n≥2an=Sn−Sn−1=nan+2nn−1−n−1an−1−2n−1n−2,化简得:n−1an−n−1an−1+4n−1=0∵n≥2,∴an−an−1=−46分∴an是以公差为-4的等差数列.(2)由(1)得a6=a1+5d=a1−20,同理a4=a1−12,a7=a1−24由题意a62=a4a7,a1−202=a1−12a1−24,解得a1=28∴an=a1+n−1d=−4n+32∵当n≤8时,an≥0,当n>8时,an<0,∴Snmax=S7=S8=a1+a882=1129分17.(1)如图,取AC中点O,连接OB,OP.∵AB=BC=2,AC=2,∴AB2+BC2=AC2∴ΔABC为等腰直角三角形,O为中点∴AC⊥OB∵PA=PC,O为中点∴AC⊥OP∵OB,OP⊂面COB∩OP=OAC⊥OBAC⊥OP∴AC⊥面OBP∵PB⊂面OBP,∴AC⊥PB5分(2)∵面PAC⊥面ABC面PAC∩面ABC=ACOP⊥AC∴OP⊥面ABC,∴OP⊥OB,∴OB,OC,OP两两垂直如图,以O为原点,OB为x轴正向,OC为y轴正向,OP为z轴正向,建立空间直角坐标系则A0,−1,0,B1,0,0,P0,0,3∵PD=2DC,∴D0,23,33,∴AB=1,1,0,AP=0,1,3,DB=1,−23,−33令面PAB的法向量为n=x,y,z则n⋅AB=0n⋅AP=0,可得n=3,−3,1∴sinα=cosθ=DB⋅nDB⋅n=2176分(3)AB=1,1,0,AD=0,53,33,AP=0,1,3令面ABD的法向量为m则m⋅AB=0m⋅AD=0,可得m=3,−3,5∴d=AP⋅mm=493314分18.(1)由题意得k1=±ba,k2=±12∵k1⋅k2=1,∴b=2a∵C1的焦点到渐近线的距离为2,∴b=2,∴a=1, b=2,c=5双曲线方程为x2−y24=15分(2)令Am,n,由题意A′n,m1分∵A在C2上∴m28−n22=1,得m+2nm−2n=8,即2n−m=−8 m+2n 2分令1:y−m=2x−ny−m=2x−nx2−y24=1,可得4x2−2x−n+m2=4化简得xP=12n−m+2n−m4∴xP=n4−3 m83分同理可得xQ=n4+3 m82分∴A′PA′Q=5xA′−xP⋅5xA′−xQ=5n−n4+3 m8n−n4+3 m8=458 4分19.(1)由题意得sx=x2+1x2≥2,当且仅当x=1时,等号成立∴存在P1,1,使得P是M的“f最近点”3分(2)sx=x2+lnx−12s′x=2x2+lnx−1x令hx=x2+lnx−1,h1=0,当x∈0,+∞时,x2,lnx单调递增所以hx在0,+∞单调递增,∴x∈0,1时,hx<0,s′x<0,sx单调递减x∈1,+∞时,hx>0, s′x>0, sx单调递增∴sxmin=s1=1∴P1,0又∵f′x=1x,f1=1∴过P1,0的切线为x−y−1=06分(3)s1x=x−t−12+fx−ft+gt2,s1′x=2x−t−1+2fx−ft+gtf′xs2x=x−t+12+fx−ft−gt2,s2′x=2x−t+1+2fx−ft−gtf′x1分由题意假设x=m时,s1x,s2x为各自函数的最小值,则m必为s1x,s2x的极小值点则s1′m=0s2′m=0,可得2m−t−1+2fm−ft+gtf′m=02m−t+1+2fm−ft−gtf′m=0∴2m−t−1+2fm−ft+gtf′m=2m−t+1+2fm−ft−gtf′m得f′m=1gt3分下证:m=ts1m≤s1ts2m≤s2t,可得m−t−12+fm−ft+gt2≤1+g2tm−t+12+fm−ft−gt2≤1+g2t两式相加得 m−t2+fm−ft2≤0,∴m=t∴f′t=1 gt3分∵∀t∈R,gt>0,∴f′t>0∴fx在R上单调递增.1分