2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两直线l1:x−2y+3=0与直线l2:3x+my−1=0平行，则m=(    )A.−6 B.6 C.32 D.−322.在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于y轴对称的点坐标是(    )A.(−2,1,−4) B.(2,1,−4) C.(−2,−1,−4) D.(2,−1,4)3.过点P(1,2)的直线l与圆O：x2+y2=16交于A,B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为(    )A.x+2y−5=0 B.2x−y=0 C.x−2y+3=0 D.2x+y−4=04.已知椭圆x240+y2m−1=1的焦距为6，则m的值是(    )A.5 B.32 C.5或77 D.32或505.若直线l1:y=kx−k+1与直线l2关于直线l:x−y+1=0对称，则直线l2一定过定点(    )A.(2,0) B.(0,−2) C.(0,2) D.(−2,0)6.已知实数x,y满足x2+y2−6x+5=0，则yx+1的取值范围为(    )A.[−3,3] B.−33,33C.−∞,−33∪33,+∞ D.(−∞,−3］⋃3,+∞7.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO=AB=4，AC=BC，D为SO的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为(    )A.43 B.1 C.53 D.28.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与椭圆C交于M,N两点，若SΔF1MN=3SΔF1F2M且∠F1NF2=∠F1F2N，则椭圆C的离心率为(    )A.12 B.22 C.35 D.13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的有(    )A.点斜式y−y1=k(x−x1)可以表示任何直线B.直线y=4x−2在x轴上的截距为12C.直线2x−y+1=0关于点(1,1)对称的直线方程是2x−y−3=0D.过点A(2,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是x+y−6=010.已知圆O：x2+y2=1和圆C：(x−3)2+(y−4)2=r2(r>0)，则(    )A.若两圆相交，则r∈(4,6)B.直线x=−1可能是两圆的公切线C.两圆公共弦长的最大值为2D.两圆公共弦所在的直线方程可以是3x+4y−11=011.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，P为平面ADD1A1内一点，E为B1C1中点．下列论述正确的是(    )A.若AP=34AD1，则EP⊥BC1B.若AP=12AD1，则B1到直线BP的距离为303C.若AP=tAD+12AA1(t∈[0,1])，则有且仅有一个点P，使得B1D⊥平面BA1PD.若AP=λAD1(λ∈[0,1])，则平面B1CP与底面ABCD所成角正弦值的取值范围为[22,63]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=2,4,5,b=4,x,y分别是平面α,β的法向量，若α∕∕β，则x+y=_______________13.平面内点P满足｜PF1|+|PF2|=8，其中F1(2,0)，F2(−2,0)，且PF1⋅PF2=8，则ΔPF1F2的面积为____．14.在直角坐标平面内，Px1,y1，Qx2,y2，(x1−x2)2+(y1−y2)2是P，Q两点的直线距离，定义：｜x1−x2|+|y1−y2|叫做P，Q两点的“城市街区距离”。已知A是圆x2+y2=4上一点，B是直线x+2y−6=0上一点，则A，B两点的直线距离最小值是          ，A，B两点的“城市街区距离”最小值是          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在▵ABC中，已知B(−4,0)，AB边上的中线CD所在直线方程是x+2y−1=0，BC边的高线AE所在直线方程是7x−y−12=0．  (1)求点C的坐标；(2)判断▵ABC的形状．16.(本小题15分)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E 在A1A上且A1E=13A1A，F 为CD的中点，∠B1BC=∠B1BA=π3，∠CBA=π2，|AB|=|BC|=4，BB1=3，记BC=a，BA=b，BB1=c．   (1)用a，b，c表示EF；   (2)求异面直线AB与EF所成角的余弦值．17.(本小题15分)如图，某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45∘方向距O岛302千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O,A,B三点．(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有暗礁，现有一船D在O岛的北偏西45∘方向距O岛202千米处，正沿着北偏东30∘方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？18.(本小题17分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，AB=2，FA=FC。(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)P为线段DE上的动点，求FP与平面ABF所成角正弦值的最大值；(3)设EF中点为K，G为四边形ABCD内的动点(含边界)且GK=CF，求动点G的轨迹长度．19.(本小题17分)已知椭圆X2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任一点，▵PF1F2的面积的最大值为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD 的 顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，设A(x1,y1),B(x2,y2)， ①若3x1x2=4y1y2，求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②若OA⋅OB=0，求四边形ABCD周长的取值范围．参考答案1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.D 9.BC 10.ABC 11.ABD 12.18 13.43 14.655−2；3−5 15.解：(1)∵kAE=7，∴kBC=−17，所以直线BC方程是y=−17(x+4)，化简得x+7y+4=0，联立x+7y+4=0x+2y−1=0，解得x=3y=−1，所以C(3,−1)；(2)设A(a,b)，则D(a−42,b2)，代入CD方程得a+2b−6=0，联立方程a+2b−6=07a−b−12=0，解得a=2，b=2，所以A(2,2)，∵kAB=13，kAC=−3，∴kAB⋅kAC=−1，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形． 16.解：(1)EF=EA1+A1D1+D1D+DF=13BB1+BC−BB1−12BA=BC−12BA−23BB1=a−12b−23c;(2)由(1)可知EF=a−12b−23c∴BA⋅EF=b⋅(a−12b−23c)=b⋅a−12b2−23b⋅c=4×4×cosπ2−12×42−23×4×3×cosπ3=0−8−4=−12∴EF2=|EF|2=(a−12b−23c)2=a2+14b2+49c2−2×12×a⋅b−2×23×c⋅a+2×23×12c⋅b=16+14×16+49×9−2×12×4×4×cosπ2−2×23×3×4×cosπ3+2×23×12×3×4×cosπ3=16+4+4−0−8+4=20∴|EF|=25设BA与EF所成角为θ(0<θ≤π2)则cosθ=|BA⋅EF||BA||EF|=124×25=3510所以异面直线AB与EF所成角的余弦值是3510． 17.解：(1)设过O，A，B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2−4F>0)，代入O(0,0)，A(30,30)，B(20,0)，解得D=−20，E=−40，F=0，所以圆C的方程为：x2+y2−20x−40y=0即(x−10)2+(y−20)2=500．(2)该船初始位置为点D，则D(−20,20)，且该船航线所在直线l的斜率为3，故该船航行方向为直线l:y−20=3(x+20)，即l:3x−y+20+203=0，由于圆心C到直线l的距离d=|103−20+20+203|(3)2+12=153>105，故该船没有触礁危险． 18.解：(1)设AC与BD相交于点O，连接FO，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC中点，∵FA=FC，∴AC⊥FO，又FO∩BD=O，FO，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF(2)连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60∘，∴△DBF为等边三角形，∵O为BD中点，∴FO⊥BD，又AC⊥FO，又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD∴FO⊥平面ABCD∵OA，OB，OF两两垂直，∴建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示，∵AB=2，四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，∴BD=2，AC=23，∵ΔDBF为等边三角形，∴OF=3，∴A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(−3,0,0)，D(0,−1,0)，E(0,−2,3)，F(0,0,3)，∴AB=(−3,1,0)，AF=(−3,0,3)，设平面ABF法向量为n=(x,y,z)，则AB⋅n=−3x+y=0AF⋅n=−3x+y=0取x=1得n=(1,3,1)∵p为线段DE上的动点，设EP=λED，FE=(0,−2,0)，ED=(0,1,−3)∴FP=FE+EP=FE+λED=(0,−2,0)+λ(0,1,−3)=(0,λ−2,−3λ)设FP与平面ABF所成角为θsinθ=|FP⋅n|FPn=3λ−2−3λ(λ−2)2+(−3λ)2·5=234λ2−4λ+45=3(λ−12)2+345当λ=12时，sinθ取最大值为255．(3)∵K为EF中点，∴K(0,−1,3)，设G(x,y,0)，则KG=(x,y+1,−3)，CF=(3,0,3)，∵GK=CF，∴|KG|=|CF|即x2+(y+1)2+(−3)2=(3)2+(3)2化简得x2+(y+1)2=3，故动点G的轨迹为心D为圆心，3为半径的圆在四边形ABCD内部部分即圆心角为1200的圆弧∴所求轨迹长度为2π33=233π． 19.解：(1)由题意e=ca=12，2ab=43，又a2=b2+c2，解得a=2，b=3所以椭圆的标准方程为x24+y23=1．(2) ①如图所示显然直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m.设A(x1,y1)，B(x2,y2).联立x24+y23=1y=kx+m，消去y整理得，(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，则Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)．由韦达定理，得x1+x2=−8kn3+4k2x1x2=4m2−123+4k2y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−12k2+3m23+4k3∵3x1x2=4y1y2，∴4m2−123+4k2=−12k2+3m23+4k2，解得4k2−3=0，又∵kBC=y2+y1x2+x1=k+2mx2+x1=−34k．kAB+kBC=k−34k=4k2−34k=0，所以直线AB和直线BC的斜率之和为定值0． ②若直线AB斜率不存在，则设A(x0,y0)，则B(x0,−y0)，因为OA⋅OB=0，所以|x0|=|y0|，所以x024+y023=1，所以|y0|=2217.所以|AB|=2|y0|=4217．若直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m.于是 OA⋅OB=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(k2+1)4m2−123+4k2−km8kn3+4k2+m2=0，化简得7m2=12k2+12．故|AB|=k2+1|x1−x2|=k2+1