2024-2025学年福建省福州市福九联盟高一上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∀x>0,x+1≥0”的否定是(    )A.∃x≤0,x+1<0 B.∃x>0,x+1<0C.∃x≤0,x+1≥0 D.∀x>0,x+1<02.已知集合M=x∣x2−1=0，则下列关系式正确的是(    )A.1⊆M B.−1∈M C.1⊆M D.⌀∈M3.下列说法正确的是(    )A.若a>b，则1a<1b B.若a>b，则ac2>bc2C.若ab2 D.若a>b>m>0，则ba>b−ma−m4.“函数fx=a−2x+3在R上为减函数”是“a∈0,1”的(    )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.函数fx=x1−x2的图象大致是(    )A. B.C. D.6.幂函数fx=m2−3m−3xm，∀x1，x2∈0,+∞都有fx1−fx2x1−x2<0成立，则下列说法正确的是(    )A.m=4 B.m=4或m=−1C.fx是奇函数 D.fx是偶函数7.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0a,b,c∈R的解集为−4,1，则c2+9a+b的取值范围为(    )A.6,+∞ B.−∞,−6 C.−6,+∞ D.−∞,68.设函数fx=2x+1−11+x2，则下列不等式中正确的是(    )A.f50.3>f−5>f0.35 B.f−5>f0.35>f50.3C.f0.35>f50.3>f−5 D.f−5>f50.3>f0.35二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数与fx=x+1是同一个函数的是(    )A.gx=x2−1x−1 B.gx=3x3+1C. gx=3x3+1 D.gx=x2+110.下列说法正确的是(    )A.已知x>0，y>0，且x+y=4，则12x+2y的最小值为98B.“x=1”是“x−2=1”的充分不必要条件C.函数fx=21x的单调递减区间为−∞,0∪0,+∞D.关于x的不等式x2−a+1x+a<0的解集中至多包含一个整数，则实数a的取值范围是011.x表示不超过x的最大整数，例如：−0.5=−1，1.1=1，已知函数fx=x，下列结论正确的有(    )A.若x∈0,1，则f−x+14<−fx+14B.  ∀x，y∈R，fx+y0且a≠1，满足f1=52且gx为增函数．(1)求函数fx，gx的解析式；(2)存在x∈1,+∞使得不等式mgx≥fx2+m成立，求实数m的取值范围；(3)若ℎx=fx+gx2−1，且关于x的方程ℎx2−k⋅ℎx+k−34=0有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D 9.BC 10.AB 11.ACD 12.m≤1 13.2 14.14 15.(1)当a=12时，B=x0≤x≤32，又∵A=x∣x+2x−1≤0=x∣−2≤x≤1，∴∁RA=x|x<−2或x>1，∴A∪B=x−2≤x≤32，∁RA∩B=x1a+1即a>2符合题意，当B≠⌀时，则2a−1≤a+12a−1≥−2a+1≤1 ∴a≤2a≥−12a≤0  ∴−12≤a≤0，综上所述：a∈−12,0∪2,+∞． 16.(1)法1：∵函数fx=a2x+1+b是定义域为R的奇函数，∴f0=0，即a2+b=0，又∵f1=−13，即a3+b=−13，由①②解得a=2，b=−1，经检验，a=2，b=−1符合题意．法2：∵函数fx=a2x+1+b是定义域为R的奇函数，∴f−x=−fx，即a2−x+1+b=−a2x+1−b，∴a⋅2x2x+1+a2x+1=−2b，即a⋅2x+12x+1=−2b，∴a=−2b，又∵f1=−13，即a3+b=−13，由①②解得a=2，b=−1．(2)函数fx在R上为减函数．证明如下：由(1)得函数fx=22x+1−1，任取x1,x2∈R且x10，又∵2x1+12x2+1>0，∴fx1−fx2>0，即fx1>fx2，∴函数fx在R上为减函数．(3)∵函数fx为奇函数，∴f2x−3+fx−1≤0可化为f2x−3≤f1−x，又∵函数fx在R上为减函数，∴2x−3≥1−x，解得：x≥43，∴原不等式的解集为xx≥43． 17.(1)依题意得：Px=150x2−2x+10 (5≤x≤20，且x∈N∗)，Qx=2525−x−2 (5≤x≤20，且x∈N∗)∴fx=Px+Qx=150x2−2x+10+2525−x−2=150x2−125x+18 (5≤x≤20，且x∈N∗).所以f10=−4(2)依题意得：Px+ax≥Qx对∀x∈x∈N∗∣5≤x≤20恒成立，所以150x2−2x+10+ax≥2525−x−2对∀x∈x∈N∗∣5≤x≤20恒成立，所以ax≥−150x2+85x−2对∀x∈x∈N∗∣5≤x≤20恒成立，所以a≥−150x−2x+85对∀x∈x∈N∗∣5≤x≤20恒成立，令gx=−150x−2x+85(5≤x≤20，且x∈N∗)，则a≥gxmax，∵−150x−2x+85=−x50+2x+85≤−2x50⋅2x+85=65，当且仅当x50=2x，即x=10时等号成立，所以a≥65，答：a至少为65时，才能确保线路A月总收入不低于线路B月总收入． 18.(1)∵当x>0时，−x<0，∴f−x=−x+1+x，又∵fx是 奇函数，∴fx=−f−x=x−1+x，∴fx=x−1+x,&x>00,&x=0x+1−x,&x<0．(2)当x∈3,+∞时，fx=x−1+x，令t=1+x，则t≥2，∴x=t2−1，∴y=t2−t−1，∵二次函数开口向上，对称轴为t=12，∴当t=2时，ymin=1，∴函数fx在3,+∞的值域为1,+∞．(3)∵函数y=gx的图象关于直线x=2对称，由题意可得：函数y=gx+2为偶函数，∴g−x+2=gx+2，∴gx=g4−x，∵当x∈2,4时，4−x∈0,2，∴gx=g4−x=x2−2mx−8x+6m−4，令ℎx=gx+8x=x2−2mx+6m−4，其中x∈2,4，函数ℎx在2,4的值域记为A，函数fx在3,+∞的值域记为B，由(2)知B=1,+∞,∵∀x1∈2,4，∃x2∈3,+∞，使得gx1+8x1=fx2，∴A⊆B即A⊆1,+∞,∴只需ℎxmin≥1，∵二次函数ℎx开口向上，且对称轴为x=m，①当m≤2时，ℎx在2,4单调递增，∴ℎxmin=ℎ2=2m，∴m≤22m≥1，解得：12≤m≤2，②当m≥4时，ℎx在2,4单调递减，∴ℎxmin=ℎ4=−2m+12，∴m≥4−2m+12≥1，解得：4≤m≤112，③当21，由f1=a+a−1=52，整理得2a2−5a+2=0，解得a=2或a=12(舍去)，所以fx=2x+2−x，gx=2x−2−x．(2)由gx=2x−2−x是增函数，所以当x∈1,+∞时，gx∈32,+∞,存在x∈1,+∞不等式mgx≥fx2+m成立，即m2x−2−x≥2x+2−x2+m=2x−2−x2+m+4成立，m2x−2−x−1≥2x−2−x2+4成立，令t=gx−1=2x−2−x−1∈12,+∞,所以存在t∈12,+∞，不等式mt≥t+12+4=t2+2t+5成立，即m≥t+5t+2成立，设ut=t+5t+2，则m≥utmin，t∈12,+∞,ut=t+5t+2≥25+2，当且仅当t=5时，等号成立，所以m≥25+2，所以实数m的取值范围是25+2,+∞．(3)ℎx=fx+gx2−1=2x−1，则ℎ(x)为偶函数，令p=ℎx=2x−1≥0，当p=0时，关于x的方程p=2x−1只有一个实数解，当p>0时，关于x的方程p=2x−1有两个不同的实数解，当p<0时，关于x的方程p=2x−1没有实数解，所以要使关于x的方程ℎx2−k⋅ℎx+k−34=0有四个不同的实数解，需关于p的方程p2−kp+k−34=0有两个不同的正实数根，则Δ=k2−4k−34=k2−4k+3>0k>0k−34>0，解得343，所以k的取值范围是34,1∪3,+∞．