周南中学2025届高三上学期第四阶段考试数学试卷参考答案1.已知集合A=x∈N∗/−20,则函数gx=f1−x−1的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5答案:C6.在中国古代,人们用圭表测量日影长度来确定节气,一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,小寒、雨水,清明日影长之和为28.5尺,则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为()A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】A【详解】设从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列an,如冬至日的日影长为a1尺,设公差为d尺.由题可知,所以a1+a4+a7=31.5⇒3a4=31.5⇒a4=10.5,a2+a5+a8=28.5⇒3a5=28.5⇒a5=9.5,d=a5−a4=9.5−10.5=−1,a3+a6+a9=3a6=3a5+d=3×9.5−1=3×8.5=25.5,故选:A.7.已知a=3sinωx,cosωx−22,b=cosωx,cosωx+22ω>0,若函数fx=a⋅b在区间0,π上恰好有5个最大值,4个最小值,则实数ω的取值范围是()A.256,143 B.256,143 C.143,316 D.143,316【答案】B【详解】根据题意可得:fx=a⋅b=3sinωxcosωx+cos2ωx−12=32sin2ωx+12cos2ωx=sin2ωx+π6由于x∈0,π,可得:2ωx+π6∈π6,2ωπ+π6,由于函数fx恰好有5个最大值,4个最小值,则4×2π+π2≤2ωπ+π6<4×2π+3π2,解得256≤ω<143.故选:B8.【答案】B【解析】由图可知,两个函数图象都在x轴上方,所以f′x>0，fx单调递增,所以实线为fx的图象,虚线为f′x的图象,f0=f′0=1,对A，y′=f′x+1>0，y=fx+x单调递增,无最大值,A错误；对B，y′=exfx−f′xfx2，y′x=0=e0f0−f′0f02=0,由图可知,当x<0时,fx−f′x<0,当x>0时,fx−f′x>0,所以y=exfx在−∞,0上单调递减,在0,+∞上单调递增,所以当x=0时,函数取得最小值ymin=e0f0=1,B正确；对C，y′=f′x+fxex,由图可知fx+f′x>0,所以y=fx⋅ex在R上单调递增,无最大值,C错误；对D,y′=f′x−fxex,由图可知,当x<0时,fx−f′x>0,当x>0时,fx−f′x<0,所以函数y=fxex在−∞,0上单调递增,在0,+∞上单调递减,当x=0时,函数取得最大值ymax=f0e0=1,D错误,故选:B9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示,根据此折线图,下面结论正确的是()A.这14天日促销量的众数是214B.这14天日促销量的中位数是196C.这14天日促销量的极差为195D.这14天日促销量的第80百分位数是2439.AC【详解】根据题意得蓝莓每日促销量从小到大排列得到数据为:80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275,对于A,则这14天蓝莓每日促销量的众数是214,故A正确;对于B,这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个数据的平均值,即179+2142=196.5,故B错误;对于C,这14天蓝莓每日促销量的极差是275−80=195,故C正确;对于D,因为14×0.8=11.2,所以这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数为第12个数据,即260,故D错误.故选:AC.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线E:x2−y23=1有相同的焦点F1,F2,且它们的离心率之积为45,点P是C与E的一个公共点,则()A.椭圆C的方程为x225+y221=1B.三角形PF1F2为等腰三角形C.过点F2作E的一条渐近线的垂线,垂足为M,则三角形MF1F2面积为3D.对于E上的任意一点Q,QF1⋅QF2≠010.ABC【详解】由双曲线E:x2−y23=1的方程可知,双曲线的焦点F1−2,0,F22,0,离心率为1+31=2,所以椭圆的焦点为F1−2,0,F22,0,离心率为25,所以椭圆中,a=5,c=2,b=a2−c2=21,根据对称性,不妨设PF1>PF2,则PF1−PF2=2,又根据椭圆的定义可知,PF1+PF2=2a=10,所以联立PF1−PF2=2PF1+PF2=10,解得PF1=6,PF2=4,F1F2=4,所以PF2=F1F2,所以△PF1F2为等腰三角形,B正确;,C正确;三角形MF1F2面积=2×三角形MOF2面积=3,C正确；设Qx1,y1,则x12−y123=1,QF1=−2−x1,−y1,QF2=2−x1,−y1,所以QF1⋅QF2=x12−4+y12=1+y123−4+y12=43y12−3=0,解得y1=±32,此时x1=±72,所以存在点Q的坐标为72,32或72,−32或−72,32或−72,−32,使得QF1⋅QF2=0,D错误;故选:ABC.11.如图,在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点,P是正方形A1B1C1D1内的动点,则下列结论正确的是()A.若DP//平面CEF,则点P的轨迹长度为22B.若AP=17,则点P的轨迹长度为2πC.若P是正方形A1B1C1D1的中心,Q在线段EF上,则PQ+CQ的最小值为42D.若P是棱A1B1的中点,三棱锥P−CEF的外接球球心为O,则平面A1BCD1截球O所得截面的面积为81π811.ACD【详解】如图,取A1D1,A1B1的中点为N,M,连接MN,DN,BD,BM,NE,B1D1,所以MN//B1D1,又E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点,所以EF//B1D1,所以MN//EF,MN⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,∴MN//平面CEF,因为N,E分别是棱A1D1,B1C1的中点,所以NE//CD,且NE=CD,所以四边形CDNE为平行四边形,所以ND//CE,又ND⊄平面CEF,CE⊂平面CEF,∴ND//平面CEF,又MN∩ND=N,MN,ND⊂平面BDNM,所以平面BDNM//平面CEF,点P是正方形A1B1C1D1内的动点,且DP//平面CEF,所以点P的轨迹为线段MN,由勾股定理得MN=22+22=22,故A正确;如图,以A为原点,以AB,AD,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴,由题意得A0,0,0,设Px,y,4,AP=x2+y2+16=17,所以x2+y2=1,所以点P的轨迹为A1为圆心,半径为1的14个圆,所以点P的轨迹长度为14⋅2π=π2.故B错误;如图,将平面CEF翻折到与平面A1B1C1D1共面,连接PC,与EF交于点Q,此时PQ+CQ取到最小值,∵CE=CF=22+42=25,且PE=PF=2,所以点Q为EF的中点,所以PQ=EQ=1222+22=2,所以CQ=CE2−EQ2=20−2=32,即PQ+CQ的最小值为42,故C正确;如图,连接PF,交B1D1于点O1,连接PE,若P是棱A1B1的中点,则∠FEP=90∘,所以FP是△PEF外接圆的一条直径,所以O1是△PEF外接圆的圆心,过点O1作平面ABCD的垂线,则三棱锥P−CEF的外接球的球心O一定在该垂线上,连接OP,设OO1=t,则22+t2=R2,连接OC,12AC=1242+42=22,所以4−t2+222=R2,所以22+t2=4−t2+222,解得t=52,所以R2=22+254=414,易得截面的面积为81π8,故D正确;故选:ACD.12.-3；13.10；14.198115.(本小题13分)在△ABC中,角A,B,C对应的的三边分别是a,b,c,且2a−bc=2cosB.(1)求角C的值;(2)若c=1,2tanA=3tanB,求△ABC的面积.【答案】解:(1)因为2a−bc=2cosB,所以2sinA−sinB=2sinCcosB,则2sinB+C−sinB=2sinCcosB,所以2sinBcosC=sinB,0