2024-2025学年度第一学期月考高三数学试题分值：150分考试时间：120分钟注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.eq\f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝( )A．－1 B．1－iC．1 D．1＋i答案 B2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.-1 B.0 C.-2 D.1答案 D 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )A.3 B.4 C.2 D.5答案 D 解:∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,∴数列Snn也为等差数列.∴Sm-1m-1+Sm+1m+1=2Smm,即-2m-1+3m+1=0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选D.4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=( )A.-2 B.-1 C.0 D.1答案 D 5.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= ( )A.14 B.12 C.3 D.4答案 C 6.若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )A.π2 B. π4 C.3π4 D.π答案 B 7.已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为( )A．1 B．eq\r(2)＋1C．eq\r(2) D．eq\r(2)－1答案 D8.已知数列{an}满足an=nn+1,则a1+a222+a332+…+a202020202+a202120212= ( )A.20212022 B.20182019 C.20192020 D.20202021答案 A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值可能为 ( )A.1 B.12 C.3 D.2答案 BD 10.已知等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则 ( )A.d>0 B.S15>0C.a8=0 D.S7、S8均为Sn的最大值答案 CD 11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则 ( )A.a5=0B.{an}的前n项和中S5最小C.Snn的最大值为0D.nSn的最小值为-49答案 BD 第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=30,则a2+a8= . 答案 1213.数列{an}满足an+1=11-an,a8=2,则a2= . 答案 214.若数列{an}的前n项和Sn=23an+13,则{an}的通项公式是an= . 答案 (-2)n-1四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解析 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.16．（15分）已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{Sn}是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解题指导:先选两个作为条件,余下一个作为结论,然后进行证明.如果是证明③,利用等差中项法,即只需2S2=S1+S3,通过化简即可得证;如果是证明①或②,可先求数列的通项公式,再利用等差数列的定义证明即可.解析 选①②作为条件,证明③.证明:设等差数列{an}的公差为d,因为{Sn}是等差数列,所以2S2=S1+S3,即22a1+d=a1+3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选①③作为条件,证明②.证明:设等差数列{an}的公差为d.因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列{an}的前n项和Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)2·2a1=n2a1.又a1>0,所以Sn=na1.则Sn+1-Sn=(n+1)a1-na1=a1,所以数列{Sn}是公差为a1的等差数列.选②③作为条件,证明①.证明:设等差数列{Sn}的公差为d,因为S1=a1,S2=a1+a2=a1+3a1=2a1,所以d=S2-S1=2a1-a1=a1,则等差数列{Sn}的通项公式为Sn=a1+(n-1)a1=na1,所以Sn=n2a1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列{an}的通项公式为an=(2n-1)a1,则an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{an}是公差为2a1的等差数列.17．（15分）已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得3a1+3d=-3,a1(a1+d)(a1+2d)=8,解得a1=2,d=-3或a1=-4,d=3.所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=-3n+7, n=1,2,3n-7, n≥3.记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+(n-2)[2+(3n-7)]2=32n2-112n+10.当n=2时,满足此式,综上,Sn=4, n=1,32n2-112n+10, n>1.18．（17分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=2n-1an,求数列{bn}的前n项和Tn.解析 (1)当n=1时,S1=2a1-1,解得a1=1.当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,则Sn-Sn-1=an=2an-2an-1,即an=2an-1.所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1(n∈N*).(2)bn=2n-1an=2n-12n-1,∴Tn=1+321+522+…+2n-12n-1,∴12Tn=121+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n,两式相减得12Tn=1+221+222+223+…+22n-1-2n-12n=3-2n+32n,∴Tn=6-2n+32n-1(n∈N*).19．（17分）记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1an<2.解析 (1)解法一:依题意得,S1=a1=1.∴Snan=11+(n-1)×13=n+23.∴3Sn=(n+2)an,则3Sn+1=(n+1+2)an+1=(n+3)an+1,∴3Sn+1-3Sn=(n+3)an+1-(n+2)an,即3an+1=(n+3)an+1-(n+2)an,∴nan+1=(n+2)an,即an+1an=n+2n,由累乘法得an+1a1=(n+1)(n+2)1×2,又a1=1,∴an+1=(n+1)(n+2)2,∴an=n(n+1)2(n≥2),又a1=1满足上式,∴an=n(n+1)2(n∈N*).解法二:同解法一求得nan+1=(n+2)an,∴an+1n+2=ann,即an+1(n+1)(n+2)=ann(n+1),∴数列ann(n+1)是常数列,首项为12,∴ann(n+1)=12,∴an=n(n+1)2.(2)证明:由(1)知1an=2n(n+1)=21n-1n+1,∴1a1+1a2+…+1an=211-12+212-13+…+21n-1n+1=21-1n+1=2-2n+1<2.